Funció zeta

Representació gràfica de la funció Zeta de Riemann.

Una funció zeta és una funció formada per una suma d'infinites funcions elevades a potències i "necessàriament" convergents , o siga que es pot expressar per mig d'una Série de Dirichlet:

Una de les seues utilisacions més populars és en el camp de les matemàtiques discretes, tendint a matemàtiques abstractes, per mig de l'anàlisis geomètric de cossos oscilantes.

$\zeta (s)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f(k{)}^s$

Eixemples

Existixen vàries funcions matemàtiques que reben el nom de funció zeta, cridades aixina per la lletra grega ζ.

la més famosa és:

• Funció zeta de Riemann.

Atres funcions zeta són:

• Funció zeta de Artin-Mazur
• Funció zeta de Dedekind
• Funció zeta de Epstein
• Funció zeta de Hasse-Weil
• Funció zeta de Hurwitz
• Funció zeta de Ihara
• Funció zeta de Igusa
• Funció zeta de Lefschetz
• Funció zeta de Lerch
• Funció zeta local
• Funció zeta de Minakshisundaram-Pleijel
• Funció zeta prima
• Funció zeta de Selberg
• Funció zeta de Weierstrass
• Funció zeta d'un àlgebra de divisió

Moltes d'estes funcions zeta estan íntimament relacionades i involucren una série d'importants relacions entre sí. Existix consens entre els matemàtics que segurament existix una teoria general que permetria unificar la majoria de la teoria de funcions zeta i séries de Dirichlet; pero al dia de hui no s'ha descobert encara la naturalea d'eixa teoria general.

El teorema de Taniyama-Shimura és un dels alvanços més recents en la direcció d'una comprensió generalisada. Conjectura famoses relacionades inclouen la conjectura de Artin, la conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer i la hipòtesis generalisada de Riemann. La teoria de les funcions L deuria contindre la teoria de les funcions zeta; una funció L és potencialment un tipo 'estrany o retortillat' de funció zeta. La classe S de Selberg és un intent de definir les funcions zeta axiomáticament, de forma tal que siga possible estudiar les propietats de la classe, i aixina poder classificar als elements de la classe.

A pesar de que sona semblat, no es deuen confondre les funcions zeta en la funció eta.