Funció zeta de Igusa

En matemàtiques, una funció zeta de Igusa és un tipo de funció generadora, que conta el número de solucions d'una equació, mòdul p, p², p³, i aixina successivament

Definició

Per a un número primo $p$ siga $K$ un cos p-ádico, és dir $[K:{\mathbb{Q}}_p]<\mathrm{\infty }$, $R$ l'anell de valuación i $P$ l'ideal màxim. Per a $z\in K$ $\mathrm{ord}(z)$ expressa la valuación de $z$, $\mid z\mid =p^{-\mathrm{ord}(z)}$, i $ac(z)=z{\pi }^{-\mathrm{ord}(z)}$ per a un paràmetro uniformizante $\pi$ de $R$.

Siga $\varphi :K^n\mapsto ℂ$ una funció Schwartz-Bruhat, és dir una funció constant local en soport compacte i siga $\chi$ un caràcter de $K*$.

En este cas s'associa un polinomi no constant $f(x_1,\dots ,x_n)\in K[x_1,\dots ,x_n]$ a la funció zeta de Igusa

$Z_{\varphi }(s,\chi )=\underset{K^n}{\int }\varphi (x_1,\dots ,x_n)\chi (ac(f(x_1,\dots ,x_n)))|f(x_1,\dots ,x_n){|}^{s}dx$

a on $s\in ℂ,\mathrm{Re}(s)>0,$ i $dx$ és una mida de Haar normalisada de forma tal que $R^n$ posseïx una mida unitària.

Teorema de Igusa

Junichi Igusa va demostrar que $Z_{\varphi }(s,\chi )$ és una funció racional en $t=q^{-s}$. La demostració utilisa la teorema d'Heisuke Hironaka sobre la resolució de singularitats. No obstant, se sap molt poc, sobre fòrmules explícites. (Existixen alguns resultats sobre les funcions zeta de Igusa de varietats de Fermat.)

Referències

• Este artícul posseïx informació extreta de J. Denef, Report on Igusa's Local Zeta Function, Séminaire Bourbaki 43 (1990-1991), exp. 741; Astérisque 201-202-203 (1991), 359-386