Funció zeta de Lerch

En matemàtiques, la funció zeta de Lerch, a voltes cridada funció zeta de Hurwitz-Lerch, és una funció especial que generalisa la funció zeta de Hurwitz i el polilogaritme. Ha segut designada en honor a Mathias Lerch.

Definició

La funció zeta de Lerch està expressada per mig de

$L(\lambda ,\alpha ,s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\exp (2\pi i\lambda n)}{(n+\alpha {)}^s}.$

La funció transcendent de Lerch, que es troba relacionada en la zeta de Lerch és la definida de la següent forma:

$\Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{(n+\alpha {)}^s}.$

Les dos es troben relacionades per mig de l'expressió

$\Phi (\exp (2\pi i\lambda ),s,\alpha )=L(\lambda ,\alpha ,s).$

Representacions integrals

Una representació integral està donada per l'expressió

$\Phi (z,s,a)=\frac{1}{\Gamma (s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}{e}^{-at}}{1-z{e}^{-t}}dt$

para

$\mathrm{\Re }(a)>0\wedge \mathrm{\Re }(s)>0\wedge z<1\vee \mathrm{\Re }(a)>0\wedge \mathrm{\Re }(s)>1\wedge z=1.$

Una representació tipo integral de contorn és

$\Phi (z,s,a)=-\frac{\Gamma (1-s)}{2\pi i}\underset{0}{\overset{(+\mathrm{\infty })}{\int }}\frac{(-t{)}^{s-1}{e}^{-at}}{1-z{e}^{-t}}dt$

para

$\mathrm{\Re }(a)>0\wedge \mathrm{\Re }(s)<0\wedge z<1$

a on el contorn no deu comprendre cap punt tal que $t=\log (z)+2k\pi i,k\in Z.$

Una representació integral tipo Hermite és

$\Phi (z,s,a)=\frac{1}{2a^s}+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{z^t}{(a+t{)}^s}dt+\frac{2}{a^{s-1}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (s\arctan (t)-ta\log (z))}{(1+t^2{)}^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}dt$

para

$\mathrm{\Re }(a)>0\wedge |z|<1$

i

$\Phi (z,s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{{\log }^{s-1}(1/z)}{z^a}\Gamma (1-s,a\log (1/z))+\frac{2}{a^{s-1}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (s\arctan (t)-ta\log (z))}{(1+t^2{)}^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}dt$

para

$\mathrm{\Re }(a)>0.$

Referències

• .
• .
• .
• . Includes various basic identities in the introduction.

• .