Polilogaritme

Polilogaritmo

El polilogaritmo (també conegut com a funció de Jonquière) és una funció especial ${\mathrm{Li}}_s(z)$ definida per la següent série:

${\mathrm{Li}}_s(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^s}.$

Esta no és, en general, una funció elemental, encara que estiga relacionada en la funció logarítmica. La definició donada dalt és vàlida para tot número complex s i z tal que $|z|<1$. Per a obtindre el polilogaritmo en el restant del pla complex, cal estendre la definició per mig d'una continuació analítica.

Vàries funcions polilogarítmicas en el pla complex

${\mathrm{Li}}_{-3}(z)$	${\mathrm{Li}}_{-2}(z)$	${\mathrm{Li}}_{-1}(z)$	${\mathrm{Li}}_0(z)$	${\mathrm{Li}}_1(z)$	${\mathrm{Li}}_2(z)$	${\mathrm{Li}}_3(z)$

Per al cas especial $s=1$ s'obté la relació d'estes funcions en el logaritmo (${\mathrm{Li}}_1(z)=-\ln (1-z)$) mentres que els casos especials $s=2$ i $s=3$ es denominen dilogaritmo (o funció de Spence) i trilogaritmo respectivament. El nom de la funció prové del fet de que podria ser definida com a integrals iteradas de la mateixa funció:

${\mathrm{Li}}_{s+1}(z)=\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{{\mathrm{Li}}_s(t)}{t}dt$

aixina, el dilogaritmo és una integral del logaritmo, el trilogaritmo del dilogaritmo i aixina contínuament. Per a valors sancers negatius de s, el polilogaritmo és una funció racional.

El polilogaritmo també apareix en la forma tancada de l'integral de la distribució de Fermi-Dirac i de la distribució de Bose-Einstein, denominant-se a voltes com la integral de Fermi-Dirac o la integral de Bose-Einstein. El polilogaritmo no deu confondre's en les funcions polilogarítmicas ni en la funció logaritmo integral, que té una notació similar.

Propietats

En el cas en el que el paràmetro s siga un sancer, est estarà representat per n (o -n quan siga negatiu). Sol ser convenient definir $\mu =\ln (z)$ a on $\ln (z)$ és la branca principal del logaritmo complex $\mathrm{Ln}(z)$, de tal manera que $-\pi <\mathrm{Im}(\mu )<\pi$. Ademés, tota exponencialisació es considerarà univaluada: $z^s=e^{s\ln (z)}$.

Depenent del paràmetro s, el polilogaritmo pot ser multivaluado. La branca principal del polilogaritmo es tria que siga aquella per a la que ${\mathrm{Li}}_s(z)$ siga real per a $z\in [0,1]$ i siga contínua llevat en l'eix positiu real, a on hi ha un tall en l'interval $z\in [1,\mathrm{\infty })$ tal que el tall coloca als punts de l'eix real en el semiplano inferior de z. En terme de $\mu$, la branca principal està definida per a aquells valors de $\mu$ tals que $\arg (\mu )\in (-\pi ,\pi ]$. El fet de que el polilogaritmo siga discontinu en $\mu$ pot donar lloc a confusió.

Per a z real i z ≥ 1, la part imaginària del polilogaritmo és:

$\text{Im}({\mathrm{Li}}_s(z))=-\frac{\pi {\mu }^{s-1}}{\Gamma (s)}.$

Si es travessa el tall, açò és, prenent un paràmetro infinitesimal δ positiu i real, llavors es té:

$\text{Im}({\mathrm{Li}}_s(z+i\delta ))=\frac{\pi {\mu }^{s-1}}{\Gamma (s)}.$

Les derivades del polilogaritmo són:

$z\frac{\partial {\mathrm{Li}}_s(z)}{\partial z}={\mathrm{Li}}_{s-1}(z)$

$\frac{\partial {\mathrm{Li}}_s(e^{\mu })}{\partial \mu }={\mathrm{Li}}_{s-1}(e^{\mu }).$

Distints valors

Per a valors sancers de s, es tenen les següents relacions explícites:

${\mathrm{Li}}_1(z)=-\log (1-z)$

${\mathrm{Li}}_0(z)=\frac{z}{1-z}$

${\mathrm{Li}}_{-1}(z)=\frac{z}{(1-z{)}^2}$

${\mathrm{Li}}_{-2}(z)=\frac{z(1+z)}{(1-z{)}^3}$

${\mathrm{Li}}_{-3}(z)=\frac{z(1+4z+z^2)}{(1-z{)}^4}.$

${\mathrm{Li}}_{-4}(z)=\frac{z(1+z)(1+10z+z^2)}{(1-z{)}^5}.$

Per a tots els valors negatius de s, es pot expressar el polilogaritmo com un cocient de polinomis en z, sent per tant funcions racionals. Alguns valors de polilogaritmos per a arguments semienteros són:

${\mathrm{Li}}_1(1/2)=\log 2$

${\mathrm{Li}}_2(1/2)=\frac{1}{12}[{\pi }^2-6(\log 2{)}^2]$

${\mathrm{Li}}_3(1/2)=\frac{1}{24}[4(\log 2{)}^3-2{\pi }^2(\log 2)+21\zeta (3)]$

a on ζ és la funció zeta de Riemann. No es coneixen fòrmules similars per a majors órdens.

Referències

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4.
• Bailey, David; Borwein, Peter B., and Plouffe, Simon(abril de 1997).«On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants».66(218): 903–913.doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.Consultat el 12 d'agost de 2008.
• Bailey, D. H. and Broadhurst, D. J. (20 de juny de 1999). «A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder» (PDF). Consultat el 1 de novembre de 2005.
• Boersma, J.(1992).«On the evaluation of Legendre's chi-function».Mathematics of Computation.59(199): 157–163.doi:10.2307/2152987.
• Borwein, J. M.; Bradley, D. M., Broadhurst, D. J., and Lisonek, P.(1998).«Special Values of Multidimensional Polylogarithms».CECM.106
• Borwein, J. M.(2001).«Special Values of Multiple Polylogarithms».Transactions of the American Mathematical Society.353(3): 907–941.doi:10.1090/S0002-9947-00-02616-7.
• Berndt, B. C. (1994). Ramanujan's Notebooks, Part IV, New York: Springer-Verlag, pp. 323-326. ISBN 0-387-94109-6.
• Clunie, J.(1954).«On Bose-Einstein functions».Proceedings of the Physical Society, Section A.67: 632–636.doi:10.1088/0370-1298/67/7/308.
• Cvijović, D. and Klinowski, J (1997). «Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms». Proc. Amer.Math. Soc.125(1997),2543-2550.

• Erdélyi, A., Magnus, W., Oberhettinger, F., and Tricomi, F. G. (1981). Higher Transcendental Functions, Vol. 1, New York: Krieger.
• Fornberg, B.(1975).«Complex zeros of the Jonquiére or polylogarithm function».Mathematics of Computation.29(130): 582–599.doi:10.2307/2005579.
• Gradshteyn, I.S. and Ryzhik, I.M. (1980). Tables of Integrals, Séries, and Products, Academic Press, New York. ISBN 0-12-294760-6.

• GNU Scientific Library. «Reference Manual». Consultat el 1 de novembre de 2005.
• Jahnke, E. and Emde, F. (1945). Tables of Functions with Formulae and Curves, Dover.
• Kölbig, K. S.; Mignaco, J. A. , and Remiddi, E.(1970).«On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation».BIT.10: 38–74.doi:10.1007/BF01940890.
• Lewin, L. (1958). Dilogarithms and Associated Functions, Macdonald - London.
• Lewin, L. (1981). Polylogarithms and Associated Functions, North-Holland-New York. ISBN 0-444-00550-1.
• Lewin, Leonard (Ed.) (1991). Structural Properties of Polylogarithms, Amer. Math. Soc. - Providence, RI. ISBN 0-8218-1634-9.
• McDougall, J.(1939).«The computation of Fermi-Dirac functions».Philosophical Transactions of the Royal Society, Séries A.237: 67–104.doi:10.1098/rsta.1938.0004.
• Markman, B.(1965).«The Riemann Zeta Function».BIT.5: 138–141.
• Nielsen, N. (1909). Der Euler'sche Dilogarithms, Trobe - Leipzig, Germany.
• Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; and Brychkov, Yu. A. (1990). Integrals and Séries, Vol. 3 (More Special Functions): The Generalized Zeta Function, Bernoulli Polynomials, Euler Polynomials, and Polylogarithms, Gordon and Breach - Newark, NJ. (see § 1.2, pp 23-24)
• Robinson, J. E.(1951).«Note on the Bose-Einstein integral functions».Physical Review, Séries 2.83: 678–679.
• Rogers, L. J.(1907).«On Function Sum Theorems connected with the séries $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n^2}$».4: 169-189.
• Schrödinger, E. (1952). Statistical Thermodynamics, Cambridge.
• Truesdell, C.(1945).«On a function which occurs in the theory of the structure of polymers».Annals of Mathematics, Séries 2.46(1): 144–1457.
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1962). A Course of Modern Analysis, Fourth edition edició, Cambridge University Press.
• Wood, David C. (June, 1992). «Technical Report 15-92». University of Kent computing Laboratory, University of Kent, Canterbury, UK. Consultat el 1 de novembre de 2005.