Funció de Spence

Vore també: Polilogaritmo

Archiu:Mplwp dilogarithm.svg

El dilogaritmo a lo llarc de l'eix real

En matemàtiques, la funció de Spence, o dilogaritmo, denotat com Li₂ (z), és un cas particular de funció polilogarítmica. Dos funcions especials relacionades es coneixen com a funció de Spence, el dilogaritmo en sí:

${\mathrm{Li}}_2(z)=-\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{\ln (1-u)}{u}du\text{, }z\in ℂ$

i la seua simètrica. Per a $|z|<1$ també s'aplica una série infinita (la definició integral constituïx la seua extensió analítica al pla complex):

${\mathrm{Li}}_2(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^2}.$

Alternativament, la funció dilogaritmo a voltes es definix com

$\underset{1}{\overset{v}{\int }}\frac{\ln t}{1-t}dt={\mathrm{Li}}_2(1-v).$

En geometria hiperbòlica el dilogaritmo ${\mathrm{Li}}_2(z)$ permet obtindre el volum hiperbòlic d'un símplex ideal els vèrtiços ideals del qual guarden una raó anarmónica $z$. La funció de Lobachevski i la Funció de Clausen estan estretament relacionades en el dilogaritmo.

William Spence, de qui la funció va rebre el nom segons els primers autors que varen tractar este camp, va anar un matemàtic escocés que va treballar a principis de el XIX. Va ser companyer d'escola de John Galt, qui escriuria un ensaig biogràfic sobre Spence.

Estructura analítica

Usant la primera definició anterior, la funció dilogaritmo és analítica en tot el pla complex llevat en $z=1$, a on té un punt de ramificació logarítmic. L'elecció estàndar de la branca de cort és l'eix real positiu $(1,\mathrm{\infty })$. No obstant, la funció és contínua en el punt de ramificació i pren el valor ${\mathrm{Li}}_2(1)={\pi }^2/6$.

Identitats

${\mathrm{Li}}_2(z)+{\mathrm{Li}}_2(-z)=\frac{1}{2}{\mathrm{Li}}_2(z^2).$

${\mathrm{Li}}_2(1-z)+{\mathrm{Li}}_2(1-\frac{1}{z})=-\frac{{\ln }^{2}z}{2}.$

${\mathrm{Li}}_2(z)+{\mathrm{Li}}_2(1-z)=\frac{{\pi }^2}{6}-\ln z\cdot \ln (1-z).$

${\mathrm{Li}}_2(-z)-{\mathrm{Li}}_2(1-z)+\frac{1}{2}{\mathrm{Li}}_2(1-z^2)=-\frac{{\pi }^2}{12}-\ln z\cdot \ln (z+1).$

${\mathrm{Li}}_2(z)+{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{z}\right)=-\frac{{\pi }^2}{6}-\frac{1}{2}{\ln }^2(-z).$

Bibliografia

• (1958) Dilogarithms and associated functions, Foreword by J. C. P. Miller, London: Macdonald.