Funció de Spence

Vore també: Polilogaritmo

El dilogaritme a lo llarc de l'eix real

En matemàtiques, la funció de Spence, o dilogaritme, denotat com Li₂ (z), és un cas particular de funció polilogarítmica. Dos funcions especials relacionades es coneixen com a funció de Spence, el dilogaritme en sí:

${\mathrm{Li}}_2(z)=-\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{\ln (1-u)}{u}du\text{, }z\in ℂ$

i la seua simètrica. Per a $|z|<1$ també s'aplica una série infinita (la definició integral constituïx la seua extensió analítica al pla complex):

${\mathrm{Li}}_2(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^2}.$

Alternativament, la funció dilogaritme a voltes es definix com

$\underset{1}{\overset{v}{\int }}\frac{\ln t}{1-t}dt={\mathrm{Li}}_2(1-v).$

En geometria hiperbòlica el dilogaritme ${\mathrm{Li}}_2(z)$ permet obtindre el volum hiperbòlic d'un símplex ideal els vèrtiços ideals del qual guarden una raó anarmónica $z$. La funció de Lobachevski i la Funció de Clausen estan estretament relacionades en el dilogaritme.

William Spence, de qui la funció va rebre el nom segons els primers autors que varen tractar este camp, va anar un matemàtic escocés que va treballar a principis de el XIX. Va ser companyer d'escola de John Galt, qui escriuria un ensaig biogràfic sobre Spence.

Estructura analítica

Usant la primera definició anterior, la funció dilogaritme és analítica en tot el pla complex llevat en $z=1$, a on té un punt de ramificació logarítmic. L'elecció estàndar de la branca de cort és l'eix real positiu $(1,\mathrm{\infty })$. No obstant, la funció és contínua en el punt de ramificació i pren el valor ${\mathrm{Li}}_2(1)={\pi }^2/6$.

Identitats

${\mathrm{Li}}_2(z)+{\mathrm{Li}}_2(-z)=\frac{1}{2}{\mathrm{Li}}_2(z^2).$

${\mathrm{Li}}_2(1-z)+{\mathrm{Li}}_2(1-\frac{1}{z})=-\frac{{\ln }^{2}z}{2}.$

${\mathrm{Li}}_2(z)+{\mathrm{Li}}_2(1-z)=\frac{{\pi }^2}{6}-\ln z\cdot \ln (1-z).$

${\mathrm{Li}}_2(-z)-{\mathrm{Li}}_2(1-z)+\frac{1}{2}{\mathrm{Li}}_2(1-z^2)=-\frac{{\pi }^2}{12}-\ln z\cdot \ln (z+1).$

${\mathrm{Li}}_2(z)+{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{z}\right)=-\frac{{\pi }^2}{6}-\frac{1}{2}{\ln }^2(-z).$

Bibliografia

• Lewin, L. (1958). Dilogarithms and associated functions, Foreword by J. C. P. Miller, London: Macdonald.