Funció de Dirichlet

En matemàtica, la funció de Dirichlet, cridada aixina en honor al matemàtic alemà Peter Gustav Lejeune Dirichlet, és una funció matemàtica especial, que té la peculiaritat de no ser contínua en cap punt del seu domini.

Definició

Usualment es prenen els valors $c=1$ i $d=0$.

Propietats

• La funció de Dirichlet és discontínua en tot punt del seu domini.

• Analíticament, la funció de Dirichlet es pot representar com el llímit doble d'una successió de funcions: $D(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\cos (k!\pi x{)}^{2j})\right)$.
• La funció de Dirichlet és periòdica, ya que $D(x+q)=D(x)\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{\forall }q\in \mathbb{Q}$. Esta funció, per tant, és un eixemple d'una funció periòdica no constant el conjunt de la qual de periodos és dens en $ℝ$ (els racionals).

Vore també

• Funció de Thomae, una variació de la funció de Dirichlet que és contínua en els irracionals i discontínua en els racionals.