Teorema de Heine-Cantor

En matemàtiques, la teorema de Heine-Cantor, cridat aixina per deure's a Eduard Heine (1821 - 1881) i Georg Cantor, establix que, si $f:M\to N$ és una funció contínua entre dos espais mètrics i $M$ és compacte, llavors $f$ és uniformemente contínua en $M$.

En particular, es té que tota funció real contínua definida en un interval tancat i acotat $f:[a,b]\to ℝ$ és uniformemente contínua, puix $[a,b]$ és compacte.

Demostració

La continuïtat uniforme d'una funció s'expressa com:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x,y\in M:(d_M(x,y))<\delta \Rightarrow d_N(f(x),f(y))<\epsilon ),$

a on $d_M$, $d_N$ són les funciones distància en els espais mètrics $M$ i $N$, respectivament. Si ara assumim que $f$ és contínua en l'espai mètric compacte $M$ pero no uniformemente contínua, aplegarem a contradicció. La negació de la continuïtat uniforme de $f$ queda aixina ($\wedge$ denota la conjunció llògica "i"):

$\mathrm{\exists }{\epsilon }_0>0\mathrm{\forall }\delta >0\mathrm{\exists }x,y\in M:(d_M(x,y)<\delta \wedge d_N(f(x),f(y))\ge {\epsilon }_0).$

Fixant este ${\epsilon }_0$, per a tot $\delta$ positiu tenim un parell de punts $x$ i $y$ en $M$ en les propietats dalt descrites. Si elegim $\delta =1/n$ per a $n=1,2,3,\mathrm{...}$ obtenim dos successions $\{x_n\},\{y_n\}$ tals que

$d_M(x_n,y_n)<\frac{1}{n}\wedge d_N(f(x_n),f(y_n))\ge {\epsilon }_0.$

Com $M$ és compacte, el teorema de Bolzano-Weierstrass demostra l'existència de dos subsucesiones convergents ($x_{n_k}$ a $x_0$ i $y_{n_k}$ a $y_0$). Se seguix que para tot $k\in \mathbb{N}$

$d_M(x_{n_k},y_{n_k})<\frac{1}{n_k}\wedge d_N(f(x_{n_k}),f(y_{n_k}))\ge {\epsilon }_0.$

Pero com $f$ és contínua i $x_{n_k}$ i $y_{n_k}$ convergixen en el mateix punt, esta afirmació no pot ser certa. La contradicció prova que la nostra suposició de que $f$ no és uniformemente contínua és absurda: llavors $f$ deu ser uniformemente contínua en $M$ com afirma el teorema. $◻$