Dimensió de correlació

En teoria del caos, la dimensió de correlació (indicada per ν) és una mida de la dimensió de l'espai ocupat per un conjunt de punts aleatoris, a sovint considerada un tipo de dimensió fractal.

Per eixemple, si es té un conjunt de punts aleatoris en la recta real entre 0 i 1, la dimensió de correlació serà ν = 1, mentres que si estan distribuïts en, per eixemple, un triàngul incrustat l'espai tridimensional (o en un espai m-dimensional), la dimensió de correlació serà ν = 2. Açò és lo que intuitivamente esperaria d'una mida de dimensió. L'utilitat real de la dimensió de correlació és determinar les dimensions (possiblement fraccionarias) dels objectes fractales. Existixen atres métodos per a medir la dimensió (per eixemple, la dimensió de Hausdorff-Besicovitch, la dimensió del reconte de caixes i la dimensió d'informació), pero la dimensió de correlació té la ventaja de que es calcula de forma senzilla i ràpida, de ser menys sensible a destorbament quan solament es dispon d'una chicoteta cantitat de punts i, a sovint, coincidix en atres càlculs de dimensió.

Per a qualsevol conjunt de punts N en un espai m-dimensional

$\overrightarrow{x}(i)=[x_1(i),x_2(i),\dots ,x_m(i)],i=1,2,\dots N$

llavors l'integral de correlació C(ε) es calcula per mig de:

$C(\epsilon )=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{g}{N^2}$

a on g és el número total de parells de punts que tenen una distància entre ells menor que la distància ε (una representació gràfica de parells tan propencs és el gràfic de recurrencia). Com el número de punts tendix a infinit i la distància entre ells tendix a zero, l'integral de correlació, per a valors menuts de ε, prendrà la forma:

$C(\epsilon )\sim {\epsilon }^{\nu }$

Si el número de punts és suficientment gran i està distribuït uniformement, una representació logarítmica de l'integral de correlació respecte a ε produirà una estimació de ν. Esta idea pot entendre's cualitativamente en donar-se conte de que per a objectes de dimensions superiors, hi haurà més formes de que els punts estiguen prop uns d'uns atres, per lo que el número de parells propencs entre sí aumentarà més ràpidament per a dimensions superiors.

Grassberger i Procaccia varen introduir la tècnica en 1983; l'artícul dona els resultats de tals estimacions per a numerosos objectes fractales, ademés de comparar els valors en atres mides de dimensió fractal. La tècnica es pot utilisar per a distinguir entre el comportament caòtic (determinista) i el comportament verdaderament aleatori, encara que pot ser que no siga bona per a detectar el comportament determinista si el mecanisme de generació determinista és molt complex.

Com a eixemple, en l'artícul "Sun in Clave", el método es va utilisar per a demostrar que el número de taques solars sobre la superfície del Sol, despuix de tindre en conte els cicles coneguts, com els cicles diaris i d'11 anys, és molt provable que no siga producte d'un soroll aleatori, sino més be d'un soroll caòtic, en un atractor fractal de baixa dimensió.