Desenroll de fractales per mig del método de Mandelbrot
El método de Mandelbrot : este método per a desenrollar "objectes fractales" va ser creat per Benoît Mandelbrot en la década dels anys 70, mentres treballava en IBM. Consistix en construir, per a cada punt c del pla complex, una successió d'número complejo zn. Partint del punt z0 = 0, es calcula la successió de forma iterativa per mig de la fòrmula zn+1=F(zn)+c, a on F és una funció arbitrària prèviament elegida. Quan la successió iterativa està acotada, s'assigna al punt c del pla complex un color sòlit (per eixemple, el color negre). Si la successió divergix llavors s'assigna al punt c un color progressivament distint, depenent de quantes iteraciones hagen segut necessàries per a detectar la divergència de la successió.
El fractal derivat per este método quan es pren la funció F(z)=z2 es diu conjunt de Mandelbrot.
En lo que seguix, en lloc de zn+1=F(zn)+c s'utilisarà la notació Z=F(Z)+C, com si es tractara d'una assignació en algun llenguage de programació.
Z = Zm + C
A continuació es mostra una série de fractales iterando les diferents potències de Z = Zm + C, segons el método de Mandelbrot.
Eixemples de fractales del tipo Mandelbrot: Z = Zm + C
-
Z = Z2 + C Conjunt de Mandelbrot -
Z = Z3 + C -
Z = Z4 + C -
Z = Z5 + C -
Z = Z6 + C -
Z = Z7 + C -
Z = Z8 + C -
Z = Z9 + C -
Z = Z10 + C -
Z = Z11 + C -
Z = Z12 + C -
Z = Z12 + C
x 8 -
Z = Z20 + C -
Z = Z20 + C
x 10 -
Z = Z48 + C -
Z = Z48 + C
x 20 -
Z = Z96 + C -
Z = Z96 + C
x 40
Tal i com es pot vore en els eixemples representats, el número de lòbuls és L = m - 1
Un breu viage a les profunditats del fractal de Mandelbrot Z = Z2 + C
A continuació anem a adinsar-nos en el fractal clàssic de Mandelbrot, utilisant el microscopi d'altíssima resolució que nos proporciona el càlcul iterativo. Totes les ampliacions vénen precedides d'una image del fractal a escala 1:1 en a on podem apreciar la zona ampliada.[1]
Ampliació zona 1
Centre de coordenades : Cx = 0.291811 , Cy = 0.0144686
-
x 1 -
x 732
Ampliació zona 2
Centre de coordenades : Cx = -0.165643411 , Cy = 0.656685704
-
x 1 -
x 3855
Ampliació zona 3
Centre de coordenades : Cx = -0.755625 , Cy = 0.06328125
-
x 1 -
x 180
Ampliació zona 4
Centre de coordenades : Cx = -0,1758752481899, Cy = 1,075392007
A continuació baixarem a gran profunditat, en una ampliació de més de 2 millons i en un número màxim de 6000 iteraciones per pixel !
-
x 1 -
x 2,369,369
Ampliació zona XX
Centre de coordenades : Cx = 0,02816835288421, Cy = 0,63790834667330
Ara nos adinsarem en un lloc en estranyes formes i colors, pero a on poden apreciar-se perfectament les formes del fractal de Mandelbrot...
-
x 5,598
Z = Z-m + C
Eixemples de fractales del tipo Mandelbrot, en potències negatives de Z.
-
Z = Z -2 + C -
Z = Z -3 + C -
Z = Z -4 + C -
Z = Z -5 + C
Z = Zp / (1 + Zq) + C
-
Z = Z2 / (1 + Z) + C -
Z = Z3 / (1 + Z2) + C -
Z = Z3 / (1 + Z) + C -
Z = Z3 / (1 + Z + Z2) + C -
![Z = [(1 + Z) / Z2] + C](/w/images/thumb/b/b6/MANDEL_%281%2B2xZ%29_Z2%2BC_medium.jpg/120px-MANDEL_%281%2B2xZ%29_Z2%2BC_medium.jpg)
Z = [(1 + Z) / Z2] + C
%2BC_medium.jpg)
%2BC_medium.jpg)
%2BC_medium.jpg)
%2BC_medium.jpg)
![Z = [(1 + Z) / Z2] + C](/wiki/Archiu:MANDEL_(1%2B2xZ)_Z2%2BC_medium.jpg)
Z = Zm + Cp
Pero, ¿ qué passa quan fem Z = Zm + Cp ?. Tal i com es pot vore en els següents eixemples, el número de lòbuls és L = (m - 1) * p
-
Z = Z2 + C2
L = (2 - 1)* 2 = 2 -
Z = Z2 + C3
L = (2 - 1)* 3 = 3 -
Z = Z2+C6 - 1
L = (2 - 1)* 6 = 6 -
Z = Z3 + C2
L = (3 - 1)* 2 = 4 -
Z = Z3 + C3
L = (3 - 1)* 3 = 6 -
Z = Z4 + C4
L = (4 - 1)* 4 = 12
Z = Zm + Z + C
A continuació es mostra una série de fractales iterando les diferents potències de Z = Zm + Z + C, segons el método de Mandelbrot.
-
Z = Z2 + Z + C -
Z = Z3 + Z + C -
Z = Z4 + Z + C -
Z = Z9 + Z + C
Z = Zm - Z + C
A continuació es mostra una série de fractales iterando les diferents potències de Z = Zm - Z + C, segons el método de Mandelbrot.
-
Z = Z3 - Z + C -
Z = Z4 - Z + C -
Z = Z5 - Z + C -
Z = Z9 - Z + C
Z = Zm + 1 / Cp
També es pot transformar cada punt del pla complex, d'acort a una funció arbitrària, abans de ser sumat a la funció iterativa, segons la següent equació Z = Zm + F(C) . Vejam que passa quan la transformació és del tipo:F(C) = 1 / C
Eixemples de fractales del tipo Mandelbrot: Z = Zm + 1/C, a on cada punt C del pla complex es transforma en 1 / C, abans d'entrar en la iteración de la potència de Z.
Zo = (0,0i). El número de vèrtiços és V = (m - 1)
-
Z = Z2 + 1/C -
Z = Z3 + 1/C -
Z = Z4 + 1/C -
Z = Z5 + 1/C -
Z = Z6 + 1/C -
Z = Z7 + 1/C
Pero, qué passa quàn Z = Zm + (1 / C2) ?.
Puix alguna cosa molt semblat a lo que véem abans, ara el número de vèrtiços és V = (m - 1) * p
-
Z = Z2 + 1 / C2
V = (2 - 1)* 2 = 2 -
Z = Z3 + 1 / C2
V = (3 - 1)* 2 = 4 -
Z = Z4 + 1 / C2
V = (4 - 1)* 2 = 6 -
Z = Z5 + 1 / C2
V = (5 - 1)* 2 = 8 -
Z = Z6 + 1 / C2
V = (6 - 1)* 2 = 10 -
Z = Z7 + 1 / C2
V = (7 - 1)* 2 = 12
-
Z = Z2 + 1 / C3
V = (2 - 1)* 3 = 3 -
Z = Z2 + 1 / (C3+1)
V = (2 - 1)* 3 = 3
Integrant en el mateix fractal una funció de C i la seua inversa Z = Zm + C i Z = Zm + 1/C
La zona en color BLANCO intens és l'àrea de l'intersecció dels 2 sets.
-
Z = Z2 + 1 / C
Z = Z2 + C -
Z = Z2 + 1 / C
Z = Z3 + C -
Z = Z3 + 1 / C
Z = Z2 + C -
Z = Z3 + 1 / C
Z = Z3 + C -
Z = Z4 + 1 / C
Z = Z4 + C -
Z = Z4 + 1 / C
Z = Z3 + C
Z = ( Zm / Cm ) + C
-
Z = (Z4 / C4) + C -
Z = (Z8 / C8) + C
%2BC_medium.jpg)
%2BC_medium.jpg)
Z = Zm + C + Cp + 1/ C + 1/ Cq
També podem afegir més sumants a la funció Zm, combinant C, Cp, 1/C i 1/Cq en grups de 2, 3 o 4, vejam que succeïx si agrupem C2, 1/C i 1/C2 de 2,3 o 4 formes ..:
-
Z = Z2 + C + C2 -
Z = Z2 + C + 1/C -
Z = Z2 + C + 1/C2 -
Z = Z2 + C2+ 1/C -
Z = Z2 + C2 + 1/C2 -
Z = Z2 + 1/C + 1/ C2
-
Z = Z2 + C + C2 + 1/C -
Z = Z2 + C + C2 + 1/C2 -
Z = Z2 + C + 1/C + 1/C2 -
Z = Z2 + C2 + 1/C + 1/C2 -
Z = Z2 + C + C2 + 1/C + 1/C2
A continuació més combinacions en atres exponents:
-
Z = Z2 + C + 1/ C3
Z = Zm + polinomis de C
Podem combinar diferents potències de C i/o Z sumant-les a Zm , vejam qué succeïx:
-
Z=Z2 + C /(C2+1) + C
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + C /(C2-1)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + C2 /(C4 + 0.1)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + C2 / (C4 - 0.25)
Zo = (0,0i)
.jpg)
.jpg)
El cas de la funció: Z=Z2 + 1 /(Cm-1)
-
Z=Z2 + 1 /(C2-1)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + 1 /(C3-1)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + 1 /(C4-1)
Zo = (0,0i)
Z = Zm + polinomis mixts de C i Z
Podem sumar a Zm polinomis mixts de C i Z , vejam qué succeïx:
Z = Z2 + C/ (Z2 + k)
-
Z=Z2 + C / (Z2- 0.001)
Zo = (0,0i) x 1000 -
Z=Z2 + C / (Z2- 0.01)
Zo = (0,0i) x 100 -
Z=Z2 + C / (Z2- 0.1)
Zo = (0,0i) x 10 -
Z=Z2 + C / (Z2+ 0.1)
Zo = (0,0i) x 10 -
Z=Z2 + C / (Z2+ 0.01)
Zo = (0,0i) x 100 -
Z=Z2 + C / (Z2+ 0.001)
Zo = (0,0i) x 24,900
Z = Zm + Cp/Zq + C
-
Z=Z2 + (C2 /Z2) + C
Zo = (0,0i) m=2, p=2,q=2 -
Z=Z2 + (C4 /Z2) + C
Zo = (0,0i) m=2,p=4,q=2 -
Z=Z2 + (C4 /Z4) + C
Zo = (0,0i) m=2, p=4,q=4 -
Z=Z2 + (C6 /Z6) + C
Zo = (0,0i) m=2, p=6,q=6 -
Z=Z4 + (C2 /Z4) + C
Zo = (0,0i) m=4, p=2,q=4
Z= [(Zm+C-1) / (m*Zm-1+C- m)]2
-
Z= [(Z2+C-1) / (2*Z+C-2)]2
Zo = (0,0i) MAGNET -
Z= [(Z2+C2-1) / (2*Z+C2 -2)]2
Zo = (0,0i) -
Z= [(Z2+C3-1) / (2*Z+C3 -2)]2
Zo = (0,0i) -
Z= [(Z3+C-1) / (3*Z2+C-3)]2
Zo = (0,0i) -
![Z= [(Z4+C-1) / (4*Z3+C-4)]2 Zo = (0,0i)](/w/images/thumb/a/a4/MANDEL_%28%28Z4%2BC-1%29_%284XZ3%2BC-4%29%292_medium.jpg/120px-MANDEL_%28%28Z4%2BC-1%29_%284XZ3%2BC-4%29%292_medium.jpg)
Z= [(Z4+C-1) / (4*Z3+C-4)]2
Zo = (0,0i)
![Z= [(Z4+C-1) / (4*Z3+C-4)]2 Zo = (0,0i)](/wiki/Archiu:MANDEL_((Z4%2BC-1)_(4XZ3%2BC-4))2_medium.jpg)
Z= [(Z + Cm-1) / Cm]2
-
![Z= [(Z + C -1) / C]2 Zo = (0,0i)](/w/images/thumb/e/eb/MANDEL_%28%28Z%2BC-1%29_%28C%2B0%29%292_medium.jpg/120px-MANDEL_%28%28Z%2BC-1%29_%28C%2B0%29%292_medium.jpg)
Z= [(Z + C -1) / C]2
Zo = (0,0i) -
Z= [(Z + C2-1) / C2]2
Zo = (0,0i) -
Z= [(Z + C3-1) / C3]2
Zo = (0,0i) -
Z= [(Z + C4-1) / C4]2
Zo = (0,0i) -
Z= [(Z + C5-1) / C5]2
Zo = (0,0i)
![Z= [(Z + C -1) / C]2 Zo = (0,0i)](/wiki/Archiu:MANDEL_((Z%2BC-1)_(C%2B0))2_medium.jpg)
Z= [(Z + Cm-1) / Cm]3
-
Z= [(Z + C-1) / C]3
Zo = (0,0i) -
Z= [(Z + C2-1) / C2]3
Zo = (0,0i) -
Z= [(Z + C3-1) / C3]3
Zo = (0,0i)
Z= [(Z + Cm+1) / (Cm - 1)]2
-
Z= [(Z + C +1) / (C -1]2
Zo = (0,0i) -
Z= [(Z + C2 +1) / (C2 -1]2
Zo = (0,0i) -
Z= [(Z + C3 +1) / (C3 -1]2
Zo = (0,0i) -
Z= [(Z + C4 +1) / (C4 -1)]2
Zo = (0,0i) -
Z= [(Z + C5 +1) / (C5 -1)]2
Zo = (0,0i)
Z= [(Z + Cm-1) / (Cm + 1)]2
-
Z= [(Z + C -1) / (C +1]2
Zo = (0,0i) -
Z= [(Z + C2 -1) / (C2 +1]2
Zo = (0,0i) -
Z= [(Z + C3 -1) / (C3 +1]2
Zo = (0,0i) -
Z= [(Z + C4 -1) / (C4 +1)]2
Zo = (0,0i) -
Z= [(Z + C5 -1) / (C5 +1)]2
Zo = (0,0i)
Atres combinacions de Z i C
-
Z=Z2 + C2 /(Z2+C) + C
Zo = (0,0i)
Més funcions de variable complexa
Pero existix una àmplia varietat de funcions, en el domini dels número complejo, que poden ser iteradas segons el método de Mandelbrot.
Vaig a citar ací alguns eixemples, explicitant la part real i l'imaginària:
Exp(Z) = [ Exp(x) * Cos(x), Exp(x) * Sense(i)i ]
Sense(Z) = [ Sense(x) * ((Exp(i) + Exp(-i)) / 2), Cos(x) * ((Exp(i) - Exp(-i)) / 2)i ]
Cos(Z) = [ Cos(x) * ((Exp(i) + Exp(-i)) / 2) , -Sense(x) * ((Exp(i) - Exp(-i)) / 2)i ]
SinH(Z) = [ Cos(i) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2) , Sense(I) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2)i ]
CosH(Z) = [ Cos(i) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2) , Sense(i) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]
LN(Z) = [ 0.5 * Log(x * x + i * i) , Atn(i / x)i ]
SQR(Z) = [ (x * x + i * i)^0.25 * Cos(0.5 * Atn(i/x)) , (x * x + i * i)^0.25 * Sense(0.5 * Atn(i/x)) i ]
ATN(Z) = [PI / 4 - (1 / 2) * Atn((1 - x^2 - i^2) / (2 * x)), -(1 / 4) * Log((1 - x^2 - i^2) ^2 + 4 * x^2) + (1 / 2) * Log((1 + i) ^2 + x^2) i]
Z = Zm + F(C)
A continuació alguns eixemples de fractales per iteración de Z2, pero transformant C segons les funcions descrites anteriorment:
-
Z=Z2 + Sense(C)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + 1/Sense(C)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + Cos(C)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + 1/Cos(C)
Zo = (0,0i)
_medium.jpg)
-
Z=Z2 + SinH(C)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + 1/SinH(C)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + CosH(C)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + 1/CosH(C)
Zo = (0,0i)
-
Z=Z2 + Tan(C)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + CoTan(C)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + TanH(C)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + CoTanH(C)
Zo = (0,0i)
-
Z=Z2 + Sense(C)/CosH(C)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + CosH(C)/Sense(C)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + Cos(C)/SinH(C)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + SinH(C)/Cos(C)
Zo = (0,0i)
-
Z=Z2 + Sense(C)/SinH(C)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + SinH(C)/Sense(C)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + Cos(C)/CosH(C)
Zo = (0,0i) -
Z=Z2 + CosH(C)/Cos(C)
Zo = (0,0i)
-
Z= Z2 + Nuguen(C)
Zo = (0,0i) -
Z= -0.5*Z2 + Sqr(C)
Zo = (0,0i) -
Z= -0.5*Z3 + Sqr(C)
Zo = (0,0i)
Fractales per iteración de Exp(Z)
Esta funció es descompon en una part real i una atra imaginària: Exp(Z) = [ Exp(x) * Cos(i), Exp(x) * Sense(i)i ]
Pot ser utilisada com a funció iterativa o com a funció transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultàneament:
Com a funció iterativa
-
Z = Exp(Z)+ C
Zo = (0,0i) -
Z = Z * Exp(Z)+ C
Zo = (0,0i)
Com a funció transformadora de C
-
Z = Z2 + Exp(C)
Zo = (0,0i)
Com a funció iterativa i transformadora de C, simultàneament
-
Z = Exp(C3/Z3)
Zo = (0,0i) -
Z = Exp[(Z2-1.00001*Z)/Sqr(C3)]
Zo = (0,0i) -
Z = Exp[(Z2- 1.00001*Z)/C3]
Zo = (0,0i)
.jpg)
El cas de la funció Z = Exp[(Z2 + k * Z) / F(Cm)]
Esta funció és molt sensible a Zo, i també al coeficient (k) que multiplica a Z. Vejam alguns eixemples interessants:
-
![Z = Exp[(Z2+ k*Z)/ Sqr(C3)] Zo = (1,1i) k = 1](/w/images/thumb/3/3e/Mandel_Exp%28_%28Z%5E2%2Bk3xZ%29_Sqr%28C%5E3%29_%29.jmb.jpg/120px-Mandel_Exp%28_%28Z%5E2%2Bk3xZ%29_Sqr%28C%5E3%29_%29.jmb.jpg)
Z = Exp[(Z2+ k*Z)/ Sqr(C3)]
Zo = (1,1i) k = 1 -
Z = Exp[(Z2+ k*Z)/ Sqr(C3)]
Zo = (1,1i) k = -0.8 -
Z = Exp[(Z2+ k*Z)/ Sqr(C7)]
Zo = (1,1i) k = 0.0 -
Z = Exp[(Z2+ k*Z)/ Sqr(C7)]
Zo = (1,1i) k = -0.8 -
Z = Exp[(Z2+ k*Z)/ LN(C9)]
Zo = (1,1i) k = 3.0
![Z = Exp[(Z2+ k*Z)/ Sqr(C3)] Zo = (1,1i) k = 1](/wiki/Archiu:Mandel_Exp(_(Z%5E2%2Bk3xZ)_Sqr(C%5E3)_).jmb.jpg)
El cas de la funció Zn+1 = Exp(Zn / C m)
-
Z = Exp(Z /C)
Zo = (0,0i) -
Z = Exp(Z /C2)
Zo = (0,0i) -
Z = Exp(Z /C3)
Zo = (0,0i) -
Z = Exp(Z /C4)
Zo = (0,0i) -
Z = Exp(Z /C5)
Zo = (0,0i) -
Z = Exp(Z /C6)
Zo = (0,0i)
El cas de la funció Zn+1 = Exp(Zn / C m) + C p
-
Z = Exp(Z /C6) + C 3
Zo = (0,0i) -
Z = Exp(Z /C8) + C 4
Zo = (0,0i) -
Z = Exp(Z /C8) + C 2
Zo = (0,0i)
El cas de la funció Zn+1 = Exp(Znp / C p)
-
Z = Exp(Z3/C3)
Zo = (0,0i) -
Z = Exp(Z4/C4)
Zo = (0,0i)
.jpg)
El cas de la funció Zn+1 = Znq * Exp(Zn / C p) + C
-
Z = Z2 * Exp(Z/C)+ C
Zo = (0,0i) -
Z = Z3 * Exp(Z/C)+ C
Zo = (0,0i) -
Z = Z4 * Exp(Z/C)+ C
Zo = (0,0i) -
Z = Z5 * Exp(Z/C)+ C
Zo = (0,0i)
El cas de la funció Zn+1 = Exp[ Zn2 / (C m + C p) ]
Apareix un número de lòbuls centrals = m, i un número d'arestes exteriors = p, sent m<p.
-
![Z = Exp[Z2 / ( C5 + C )] Zo = (0,0i)](/w/images/thumb/2/2b/Exp%28Z2_%28C5_%2B_C%29%29.jpg/120px-Exp%28Z2_%28C5_%2B_C%29%29.jpg)
Z = Exp[Z2 / ( C5 + C )]
Zo = (0,0i) -
Z = Exp[Z2 / ( C6 + C3 )]
Zo = (0,0i) -
Z = Exp[Z2 / ( C8 + C4 )]
Zo = (0,0i)
![Z = Exp[Z2 / ( C5 + C )] Zo = (0,0i)](/wiki/Archiu:Exp(Z2_(C5_%2B_C)).jpg)
El cas de la funció Zn+1 = Znm * Exp[ Cos(Zn)] + 1/C
Apareixen un número d'arestes = m.
-
Z = Z2* Exp[ Cos(Z)] + 1/C
Zo = (0,0i) -
Z = Z3* Exp[ Cos(Z)] + 1/C
Zo = (0,0i) -
Z = Z4* Exp[ Cos(Z)] + 1/C
Zo = (0,0i)
Fractales per iteración de Sense(Z)
Esta funció es descompon en una part real i una atra imaginària: Sense(Z) = [ Sense(x) * ((Exp(i) + Exp(-i)) / 2), Cos(x) * ((Exp(i) - Exp(-i)) / 2)i ]
Pot ser utilisada com a funció iterativa o com a funció transformadora dels punts C = (Cx,Cyi), simultàneament:
Com a funció iterativa
Com a funció transformadora de C
-
Z = Z2+Sense(C)
Zo = (0,0i) -
Z = Z3+Sense(C)
Zo = (0,0i) -
Z = Z4+Sense(C)
Zo = (0,0i) -
Z = Z5+Sense(C)
Zo = (0,0i) -
Z = Z6+Sense(C)
Zo = (0,0i)
-
Z = Z2+Sense(C2)
Zo = (0,0i) -
Z = Z3+Sense(C2)
Zo = (0,0i) -
Z = Z4+Sense(C2)
Zo = (0,0i)
Com a funció iterativa i transformadora de C, simultàneament
-
Z = Sense(CosH(Z)C3)
Zo = (0,0i)
El cas de la funció Zn+1 = Sense(Zn * C m)
-
Z = Sense(ZC0.5)
Zo = (1,0i) -
Z = Sense(ZC)
Zo = (1,0i) -
Z = Sense(ZC2)
Zo = (1,0i) -
Z = Sense(ZC3)
Zo = (1,0i) -
Z = Sense(ZC10)
Zo = (1,0i) -
Z = Sense(Z0.5C3)
Zo = (1,0i)
El cas de la funció Zn+1 = Sense(Zn / C m)
-
Z = Sense(Z/C0.5)
Zo = (1,0i) -
Z = Sense(Z/C)
Zo = (1,0i) -
Z = Sense(Z/C2)
Zo = (1,0i) -
Z = Sense(Z/C3)
Zo = (1,0i) -
Z = Sense(Z/C10)
Zo = (1,0i)
Fractales per iteración de Cos(Z)
Esta funció es descompon en una part real i una atra imaginària: ' Cos(Z) = [ Cos(x)*((Exp(i)+Exp(-i)) / 2), -Sense(x)*((Exp(i)-Exp(-i))/2)i ]
Pot ser utilisada com a funció iterativa o com a funció transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultàneament
Com a funció iterativa
-
Z = Cos(Z)+ 1/C
Zo = (0,0i) -
Z = Cos(Z)+ LN(C)
Zo = (0,0i) -
Z = Cos(Z3)+ 1/C
Zo = (0.2,0.3i)
%2B1_C_medium.jpg)
%2BLN(C)_medium.jpg)
Com a funció transformadora de C
-
Z = Z2 + Cos( C)
Zo = (0,0i)
Com a funció iterativa i transformadora de C, simultàneament
-
Z = Cos(Z) + Cos(C)
Zo = (0,0i) -
Z = Cos(C/Z)
Zo = (0,0i)
El cas de la funció Zn+1 = Cos(Zn * C m)
-
Z = Cos(ZC0.5)
Zo = (0,0i) -
Z = Cos(ZC)
Zo = (0,0i) -
Z = Cos(ZC2)
Zo = (0,0i) -
Z = Cos(ZC3)
Zo = (0,0i)
.jmb.jpg)
El cas de la funció Zn+1 = Cos(Zn/C m)
-
Z = Cos(Z/C0.5)
Zo = (0,0i) -
Z = Cos(Z/C)
Zo = (0,0i) -
Z = Cos(Z/C2)
Zo = (0,0i) -
Z = Cos(Z/C3)
Zo = (0,0i) -
Z = Cos(Z/C4)
Zo = (0,0i)
Fractales per iteración de SinH(Z)
Esta funció es descompon en una part real i una atra imaginària: SinH(Z) = [ Cos(i) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2) , Sense(I) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2)i ]
Pot ser utilisada com a funció iterativa o com a funció transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultàneament:
Com a funció iterativa
-
Z = SinH(Z) + 1/C
Zo = (0.91, -0.08i) -
Z = SinH(Z) + 1/C
Zo = (0.90, -0.05i) -
Z = SinH(Z) + 1/C2
Zo = (1, 0.1i) -
Z = SinH(Z2) + 1/C
Zo = (1, -1i)
%2B1_C_BIG2.jpg)
%2BC_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_(2XZ%2BC2-2))2_medium.jpg){kind=link}
_(2XZ%2BC3-2))2_medium.jpg){kind=link}
_(3XZ2%2BC-3))2_medium.jpg){kind=link}
_(C2%2B0))2_medium.jpg){kind=link}
_(C3%2B0))2_medium.jpg){kind=link}
_(C4%2B0))2_medium.jpg){kind=link}
_(C5))2_medium.jpg){kind=link}
_(C))3_medium.jpg){kind=link}
_(C2))3_medium.jpg){kind=link}
_(C3))3_medium.jpg){kind=link}
_(C-1))2_medium.jpg){kind=link}
_(C2-1))2_medium.jpg){kind=link}
_(C3-1))2_medium.jpg){kind=link}
_(C4-1))2_medium.jpg){kind=link}
_(C5-1))2_medium.jpg){kind=link}
_(C%2B1))2_medium.jpg){kind=link}
_(C2%2B1))2_medium.jpg){kind=link}
_(C3%2B1))2_medium.jpg){kind=link}
_(C4%2B1))2_medium.jpg){kind=link}
_(C5%2B1))2_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_COSH(C)_medium.jpg){kind=link}
_SIN(C)_medium.jpg){kind=link}
_SINH(C)_medium.jpg){kind=link}
_COS(C)_medium.jpg){kind=link}
_SINH(C)_medium.jpg){kind=link}
_SIN(C)_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
%2BC.jpg){kind=link}
%2BC_medium.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
_SQR(C%5E3)).jpg){kind=link}
_C%5E3)_.jmb.jpg){kind=link}
_Sqr(C3))_medium.jpg){kind=link}
)_medium.jpg){kind=link}
_SQR(C7))_medium.jpg){kind=link}
_LN(C9))_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
%2BC3_medium.jpg){kind=link}
%2BC4_medium.jpg){kind=link}
%2BC2_medium.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
%2BC_medium.jpg){kind=link}
%2BC_medium.jpg){kind=link}
%2BC_medium.jpg){kind=link}
%2BC_medium.jpg){kind=link}
).jpg){kind=link}
).jpg){kind=link}
)%2B1_C_medium.jpg){kind=link}
)%2B1_C_medium.jpg){kind=link}
)%2B1_C_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
xC3)_medium.jpg){kind=link}
)_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
xC3)_medium.jpg){kind=link}
)_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
%2B1_C.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
%2BCOS(C)_medium.jpg){kind=link}
_mediumB.jpg){kind=link}
)_medium.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}
)_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
_medium.jpg){kind=link}
%2B1_C_BIG.jpg){kind=link}
%2B1_C2_BIG.jpg){kind=link}
%2B1_C_BIG.jpg){kind=link}
Com a funció transformadora de C
-
Z = Z2 + SinH(C)
Zo = (0,0i) -
Z = Z2 + SinH(1/ C3)
Zo = (0,0i)
_medium.jpg){kind=link}
Com a funció iterativa i transformadora de C, simultàneament
-
Z = SinH(Z / C )
Zo = (0,1i) -
Z = SinH(Z)/ C
Zo = (1,0i)
_BIG.jpg){kind=link}
_C_mediumB.jpg){kind=link}
Fractales per iteración de CosH(Z)
Esta funció es descompon en una part real i una atra imaginària: CosH(Z) = [ Cos(i) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2) , Sense(i) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]
Pot ser utilisada com a funció iterativa o com a funció transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultàneament:
Com a funció iterativa
-
Z = CosH(Z) + 1/C
Zo = (0,0i) -
Z = CosH(Z2) + 1/C
Zo = (0,0i) -
Z = CosH(Z3) + 1/C
Zo = (0,0i) -
Z = CosH(Z4) + 1/C
Zo = (0,0i) -
Z = CosH(Z5) + 1/C
Zo = (0,0i)
%2B1_C_medium.jpg){kind=link}
%2B1_C_medium.jpg){kind=link}
%2B1_C_medium.jpg){kind=link}
%2B1_C_medium.jpg){kind=link}
%2B1_C_medium.jpg){kind=link}
Fractales per iteración de combinacions de diferents funcions de Z
-
Z = SinH(Z) * Sense(Z) + C
Zo = (0,0i) -
Z = CosH[Exp(Z2)]+ C
Zo = (0,0i) -
Z = Exp(Z/C5)+ Ln(Z) + Z
Zo = (0,0i)
xSin(Z)%2BC_BIG.jpg){kind=link}
)%2BC_medium.jpg){kind=link}
%2BLN(Z)%2BZ_medium.jpg){kind=link}
Més fractales segons el método de Mandelbrot
Ací es mostra un eixemple de iteración de dos funciones F(X) i F(I), per adició de cada u dels punts del pla C(X,I), i l'introducció d'una tercera funció F(Z) que desequilibra el punt de convergència.
Xn+1 = Xn - Sense(Yn) + C(X) .. Yn+1 = Yn - Sense( Xn) + C(I) .. Zn+1 = Zn - Cos( Xn + Yn)
Referències
- ↑ Barnsley, M. Fractals everywhere.Academic Press Inc, 1988. ISBN 0-12-079062-9. (Cap 5)
- Este artícul conté una traducció derivada de «Desarrollo de fractales mediante el método de Mandelbrot» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.