Curva del dragó

Est artícul tracta sobre la curva del dragó fractal. Per a les conjuntes farcidures de Julia vore conill de Douady.

Una curva de dragó és qualsevol membre d'una família de curves fractales autosimilares, que poden aproximar-se per mig de métodos recursivos com sistemes-L. També és coneguda com la forma que es genera en doblar repetidament una tira de paper per la mitat, encara que hi ha atres curves que també es denominen de forma general curves de dragó que es generen de manera diferent.

Dragó de Heighway

El dragó de Heighway (també conegut com el dragó de Harter-Heighway o el dragó de Jurassic Park) va ser investigat per primera volta pels físics de la NASA John Heighway, Bruce Banks i William Harter. Va ser descrit per Martin Gardner en la seua columna Scientific American "Jocs matemàtics" en 1967.^[1]

Moltes de les seues propietats varen ser publicades per primera volta per Chandler Davis i Donald Knuth. La figura apareixia en els títuls dels capítuls la novela de Michael Crichton Jurassic Park.

Construcció

El dragó de Heighway es pot construir a partir d'un segment base, reemplaçant repetidament cada segment per dos segments en un àngul recte i en una rotació de 45° alternativament a la dreta i a l'esquerra:

El dragó de Heighway també és el conjunt llímit del següent sistema iterativo de funcions en el pla complex:

f_{1} (z) = \frac{(1 + i) z}{2}

f_{2} (z) = 1 - \frac{(1 - i) z}{2}

en el conjunt inicial de punts $S_{0} = {0, 1}$ .

Usant parells d'número real en el seu lloc, és lo mateix que les dos funcions que consistixen en

f_{1} (x, y) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} \cos 4 5^{\circ} & - \sin 4 5^{\circ} \\ \sin 4 5^{\circ} & \cos 4 5^{\circ} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

f_{2} (x, y) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} \cos 13 5^{\circ} & - \sin 13 5^{\circ} \\ \sin 13 5^{\circ} & \cos 13 5^{\circ} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

Construcció passe a pas

La curva del dragó es construïx seguint els següents passos:

A partir d'un segment, es construïx un triàngul rectàngul i isósceles, com es mostra les dos primeres figures. Després es borra el segment inicial.
Es repetix un sinfín de voltes el procés de reemplaçar un segment per atres dos per a cada antic segment de la curva, alternant sempre l'orientació dels triànguls.

La següent figura mostra els tretze primers passos:

[Dones]plegat del dragó

La curva del dragó de Heighway pot ser construïda per mig del doblat d'una tira de paper, que és com es va descobrir originalment. Prenga's una tira de paper i doble's per la mitat cap a la dreta. Doble's per la mitat novament cap a la dreta. Si la tira s'obri ara, desdoblando cada plec per a convertir-ho en un gir de 90 graus, la seqüència de gir seria DchaDchaIzq, és dir, la segona iteración del dragó de Heighway. Doble's la tira per la mitat novament cap a la dreta, i la seqüència de gir de la tira desplegada ara és DDIDDII - la tercera iteración del dragó de Heighway. Es contínua doblant la tira per la mitat cap a la dreta per a crear més iteraciones del dragó de Heighway (en la pràctica, la tira es torna massa grossa per a doblar-la totalment despuix de quatre o cinc iteraciones).

Els patrons de plegat d'esta seqüència de tires de paper, com a seqüències de plecs a la dreta (D) i esquerra (I), són:

1.ª iteración: D
2.ª iteración: D D I
3.ª iteración: D D I D D I I

4.ª iteración: D D I D D I I D D D I I D I I

Cada iteración es pot trobar copiant la iteración anterior, després una D, després una segona còpia de la iteración anterior en orde invers en les lletres I i D intercanviades.

Propietats

Es poden vore moltes auto-similituts en la curva del dragó de Heighway. La més evident és la repetició del mateix patró inclinat 45° i en una relació de reducció de $\sqrt{2}$ . Segons estes autosemejanzas, moltes de les seues llongituts són número racional simples.

Plantilla:Multiple image

La curva del dragó pot teselar el pla. Un possible enlosado reemplaça cada vora d'un teselado quadrat en una curva de dragó, utilisant la definició recursiva del dragó a partir d'un segment recte. La direcció inicial per a expandir cada segment es pot determinar a partir del color de les caselles d'un tauler d'escacs, disponent segments verticals en les caselles negres i fòra de les blanques, i expandint segments horisontals en caselles blanques i fòra de les negres.^[2]
Com curva d'omplit de l'espai que no es creua a sí mateixa, la curva del dragó té dimensió fractal exactament 2. Per a una curva del dragó en una llongitut de segment inicial 1, la seua àrea és 1/2, com es pot vore en els teselados del pla.
El llímit del conjunt cobert per la curva del dragó té una llongitut infinita, en dimensió fractal $2 \log_{2} λ \approx 1.523627086202492,$ a on $λ = \frac{1 + (28 - 3 \sqrt{87})^{1 / 3} + (28 + 3 \sqrt{87})^{1 / 3}}{3} \approx 1.69562076956$ és la solució real de l'equació $λ^{3} - λ^{2} - 2 = 0.$ ^[3]

Demostració

El dragó aplega a reblir completament una part del pla, per lo que la seua dimensió fractal deu ser 2. El càlcul de la seua dimensió es fa com en el cope de neu de Koch, puix les construccions d'abdós curves són similars.

En el primer pas de la construcció, s'observa que a partir del segment inicial s'obtenen els atres catetos del primer triàngul per mig de dos semblances (una és indirecta) de raó $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , de centres els extrems del segment, i d'ànguls $\frac{π}{4}$ i $- \frac{π}{4}$ radianes (o siga, 45°). Denominen-se $s_{1}$ i $s_{2}$ estes dos similituts. Per la construcció mateixa, la $n$ -ésima figura obtinguda en el procés, $D_{n}$ , és la reunió de les imàgens per $s_{1}$ i $s_{2}$ de la figura anterior $D_{n - 1}$ :

D_{n} = s_{1} (D_{n - 1}) \cup s_{2} (D_{n - 1})

Prenent el llímit d'esta relació (quan n tendix cap a +∞), i cridant $D = D_{\infty}$ a la curva del dragó, s'obté que:

D_{n} = s_{1} (D) \cup s_{2} (D)

És dir, $D$ és la reunió de dos còpies de sí mateixa, a escala $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , com es pot vore en la figura de la dreta.

Per tant, si s'engrandix D per mig d'una homotecia de raó $\sqrt{2}$ , obtenim dos voltes D, a la mateixa escala.

Si D és de dimensió d, la seua "volum" s'obté multiplicat per ${\sqrt{2}}^{d}$ per mig d'esta homotecia. Ací es conclou que ${\sqrt{2}}^{d} = 2$ , i, per lo tant, $d = 2$ .

Dragó bessó

El dragó bessó (també conegut com el dragó de Davis-Knuth) es pot construir colocant dos curves de dragó de Heighway una darrere de l'atra. També és el conjunt de llímits del següent sistema de funcions iteradas:

f_{1} (z) = \frac{(1 + i) z}{2}

f_{2} (z) = 1 - \frac{(1 + i) z}{2}

a on la forma inicial està definida pel següent conjunt $S_{0} = {0, 1, 1 - i}$ .

També es pot generar com un sistema-L; solament es necessita agregar una atra secció en la cadena inicial:

Àngul 90°
Cadena inicial FX + FX +
Regles d'reescritura de cadenes
- X ↦ X + YF

- I ↦ FX - I

Referències

↑ «El ADN de la curva del Dragó. Una aproximació directa en MATLAB» (en espanyol). Paradigmes. Archivat des d'el original, el 10 de novembre de 2014. Consultat el 8 de giner de 2015.
↑ Edgar (2008), "Heighway’s Dragon Tiles the Plane", pp. 74–75.
↑ Edgar (2008), "Heighway Dragon Boundary", pp. 194–195.

Este artícul conté una traducció derivada de «Curva del dragón» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[M._Gardner-1] «El ADN de la curva del Dragó. Una aproximació directa en MATLAB» (en espanyol). Paradigmes. Archivat des d'el original, el 10 de novembre de 2014. Consultat el 8 de giner de 2015.

[2] Edgar (2008), "Heighway’s Dragon Tiles the Plane", pp. 74–75.

[3] Edgar (2008), "Heighway Dragon Boundary", pp. 194–195.

[1]

[2]

[3]