Dimensió de recobriment de Lebesgue

Recobriment de Lebesgue d'un element llineal i d'un element superficial

En matemàtiques, la dimensió de recobriment de Lebesgue o dimensió topològica d'un espai topològic és una de les formes diferents de definir la dimensió de l'espai per mig d'un invariante topològic.

Discussió informal

Refinament del recobriment d'una circumferència

El diagrama de l'esquerra mostra un refinament (a l'esquerra) d'un recobriment (a la dreta) d'una circumferència (negra). Observe's cóm en el refinament cap punt de la llínea està contingut en més de dos conjunts. Observe's també cóm els conjunts s'enllacen entre sí per a formar una cadena.

Refinament del recobriment d'un quadrat

La part inferior esquerra és un refinament d'un recobriment (part superior) d'una forma plana (obscura) per a que tots els punts de la forma estiguen continguts en un màxim de tres conjunts. La part inferior dreta és un intent de refinar el recobriment per a que cap punt quede contingut en més de dos conjunts. Açò falla en l'intersecció de fronteres establides. Per lo tant, una forma plana no és "teixida" o no pot recobrir-se en "cadenes", perque en cert sentit és més grossa; és dir, la seua dimensió topològica deu ser superior a un.

Para espais euclídeos ordinaris, la dimensió de recobriment de Lebesgue és simplement la dimensió euclídea ordinària: zero per a punts, un per a rectes, dos per a plans, etc. No obstant, no tots els espais topològics tenen este tipo de dimensió òbvia, per lo que es necessita una definició precisa en tals casos. Establir una definició es fa procedent quan s'examina lo que succeïx si l'espai està recobert per conjunts oberts.

En general, un espai topològic X pot ser recobert per conjunts oberts, ya que es pot trobar una colecció de conjunts oberts tal que X es troba dins de la seua unió. La dimensió de recobriment és el número més chicotet n de modo que per a cada recobriment, encara que en la condició afegida de que cada punt de X es deu trobar en l'intersecció de no més de n + 1 conjunts de recobriment. Esta és l'essència de la definició formal que figura a continuació. L'objectiu de la definició és proporcionar un número (un número entero) que descriga l'espai i que no canvie encara que l'espai es puga deformar contínuament; és dir, un número que siga invariante baix homeomorfismes.

L'idea general s'ilustra en els diagrames adjunts, que mostren un recobriment i els seus refinament d'una circumferència i d'un quadrat.

Definició formal

La primera definició formal de dimensió de recobriment va ser donada per Eduard Čech, basada en un resultat anterior d'Henri Léon Lebesgue.

Una definició moderna és la següent. Un recobriment d'un espai topològic X és una família de conjunts oberts l'unió dels quals inclou X. El plec o el orde d'un recobriment és el número més chicotet n (si existix) de modo que cada punt de l'espai pertany, com a màxim, a n conjunts del recobriment. Un refinament d'un recobriment C és un atre recobriment, cada u dels conjunts del qual és un subconjunt d'un conjunt en C. La dimensió de recobriment d'un espai topològic X es definix com el valor mínim de n, de modo que cada conjunt obert del recobriment C de X (independentment del plec) té un refinament en n + 1 capes o menys. Si no existix tal n mínim, es diu que l'espai té una dimensió de recobriment infinita.

Com a cas especial, un espai topològic és zero-dimensional sobre la dimensió de recobriment si cada conjunt obert de l'espai té un refinament que consistix en conjunts oberts disjuntos de modo que qualsevol punt de l'espai estiga contingut exactament en un conjunt obert d'este refinament.

A sovint és convenient considerar que la dimensió de recobriment del conjunt buit és -1.