Paradoxa de la llínea de costa

Paradoxa de la llínea de costa

La paradoxa de la llínea de costa es deriva de l'observació antiintuitiva de que el perímetro coster d'una massa de terra carix d'una llongitut ben definida. Açò és conseqüència de la naturalea fractal de les llínees costeres. La primera observació d'este fenomen va ser realisada per Lewis Fry Richardson i posteriorment desenrollada per Benoît Mandelbrot.

Més concretament, la llongitut de la llínea de costa depén del método utilisat per a medir-la. Ya que la superfície d'una massa terrestre conté elements de tamanys absolutament dispars (des de centenars de quilómetros, fins a minúscules fraccions d'un milímetro i menys), no existix una mida òbvia del tamany característic del menor objecte que deuria ser medit; i per lo tant, no és possible fixar un únic perímetro ben definit de la massa de terra. Únicament poden obtindre's distintes aproximacions quan es realisen suposicions concretes sobre la mida característica mínima a considerar.

Aspectes matemàtics

El concepte bàsic de llongitut té el seu orige en l'idea de distància euclidiana. En la geometria euclidiana habitual, una llínea recta representa la distància més curta entre dos punts: el segment que els unix presenta una única llongitut associada. No obstant, la llongitut geodèsica en la superfície d'una esfera, denominada llongitut del círcul màxim, es medix a lo llarc de l'arc generat per l'intersecció de la superfície de l'esfera en un pla que passa pel seu centre i que conté abdós punts.

Medir en exactitut llongituts d'arc de determinades curves geomètriques és més complicat, pero també és possible. Per eixemple, medint en una regla, es pot aproximar la llongitut d'una curva suau per mig de la suma de les mides dels segments que van conectant els seus punts:

Utilisar pocs segments per a aproximar la llongitut de la curva, produirà una estimació baixa. No obstant, si s'utilisen segments més curts i més curts cada volta, es produiran sumes que s'aproximaran cada volta més a la verdadera llongitut de la curva. Un valor precís d'esta llongitut es pot establir utilisant el càlcul, una branca de la matemàtica dedicada al maneig de cantitats infinitament menudes. L'animació següent mostra de forma significativa cóm es pot determinar en precisió la llongitut d'una curva suau:

No obstant, no totes les curves poden ser medides d'esta manera. Un fractal és per definició una curva el grau de la qual de complexitat no es reduïx en aumentar l'escala utilisada per a representar-la. Mentres que les aproximacions a una curva suau s'acosten cada volta més a un únic valor segons s'aumenta la precisió de les mides, el valor medit en successives aproximacions en una curva fractal pot canviar de forma brusca.

La llongitut d'un "verdader fractal" sempre divergix cap a infinit, per lo que si es volguera medir la llongitut de la llínea costera en resolució infinita (o tendent a infinit), la llongitut acumulada dels plecs infinitament més menuts de la llínea de costa creixeria indefinidament. No obstant, este raonament està basat en la suposició de que l'espai pot ser subdividido indefinidament. El verosimilitut d'esta suposició —que subyacer en la geometria euclidiana i servix com un model útil en la vida diària— és un assunt d'especulació filosòfica, i podria no reflectir correctament la canviant realitat dels conceptes de 'espai' i 'distància' a nivell atòmic (aproximadament, a l'escala d'un nanómetro). La llongitut de Planck, molts órdens de magnitut més menuda que un àtom, s'ha propost com l'unitat mesurable més menuda possible en l'univers.

Les llínees costeres, donada la seua naturalea material, es diferencien dels fractales matemàtics perque estan formades per numerosíssims elements menuts, els patrons dels quals d'escala solament són susceptibles de ser analisats estadísticament.

Consideracions pràctiques

En realitat, els detalls de la llínea de costa de l'orde de 1 cm de mida o menys no són estables, per l'erosió i a atres efectes de la dinàmica marina. Inclús en alguns emplaçaments, este fenomen es produïx a molt major escala. És per este motiu pel que el concepte d'un fractal infinit no és aplicable estrictament a la llínea costera.

Per consideracions pràctiques, una elecció apropiada de la magnitut del detall mínim a considerar seria la corresponent a l'unitat en la que es vullga expressar la mida. Per eixemple, si una llínea de costa està medida en quilómetros, llavors les variacions menudes, molt menors que un quilómetro, són fàcilment ignorades. Pel contrari, per a medir la costa en centímetros, menuts detalls en este orde de magnitut deurien ser considerats. Independentment de l'orde de magnitut utilisat, deuen establir-se uns criteris homogéneus per a determinar cóm es delimita la llínea de costa en determinats casos, com els estuaris, o les planures de marea. Utilisar metodologia de mida diferents per a unitats de mida diferents també destruïx la certea habitual de que les unitats de mida poden ser convertides entre sí per mig d'una senzilla multiplicació.

Casos extrems de la paradoxa de la llínea de costa inclouen les accidentades costes de Noruega, Chile i el Pacífic Noroest d'Amèrica del Nort. Des de l'extrem sur de la illa de Vancouver en direcció nort fins a l'extrem sur del Surest d'Alaska, les convoluciones de la costa de la Columbia Britànica suponen més del 10% del total de la llongitut de la llínea llitoral canadenca (incloent el llaberint d'illes del archipèlec Àrtic) -25.725 km sobre un total de 243.042 km- a lo llarc de tan sol 965 km de distància en llínea recta.