Esponja de Menger

Esponja de Menger

Esponja de Menger.

En matemàtiques, la esponja de Menger (a voltes cridada gaveta de Menger o be gaveta o esponja de Menger-Sierpiński o de Sierpiński) és un conjunt fractal descrit per primera volta en 1926 per Karl Menger mentres explorava el concepte de dimensió topològica.

De la mateixa manera que l'estora de Sierpinski constituïx una generalisació bidimensional del conjunt de Cantor, esta és una generalisació tridimensional d'abdós. Compartix en estos moltes de les seues propietats, sent un conjunt compacte, no numerable i de mida de Lebesgue nula. La seua dimensió dimensió fractal de Hausdorff és $d_H=\log 20/\log 3\approx 2.7268$. L'àrea de l'esponja de Menger és infinita i al mateix temps tanca un volum zero.

És de destacar la seua propietat de curva universal, puix és un conjunt topològic de dimensió topològica un, i qualsevol atra curva o grafo és homeomorfo a un subconjunt de l'esponja de Menger.

Construcció

La construcció de l'esponja de Menger es definix de forma recursiva:

1. Comencem en una gaveta (primera image).
2. Dividim cada cara de la gaveta en 9 quadrats. Açò subdivide la gaveta en 27 gavetes més menudes, com li succeïx al gaveta de Rubik.
3. Eliminem les gavetes centrals de cada cara (6) i la gaveta central (1), deixant solament 20 gavetes (segona image).
4. Repetim els passos 1, 2 i 3 per a cada u de les vint gavetes menors restants.

L'esponja de Menger és el llímit d'este procés despuix d'un número infinit de iteraciones.

Esponja de Menger, Primers quatre nivells de la construcció.