Impredicatividad

En l'àmbit de les matemàtiques, la llògica i la filosofia de les matemàtiques, es diu impredicativa a tota definició autorreferencial, és dir, a tota definició d'un objecte en la que es quantifica sobre el conjunt al que este objecte pertany o en la que es definix un conjunt fent referència a ell mateixa. No existix conveni sobre lo que diferencia lo predicativo de lo impredicativo.

Les definicions predicativas són les que tracten als objectes de manera estratificada o ramificada (vore Teoria de tipos), i en este cas es quantifica sobre variables d'un nivell estrictament inferior al del tipo en el que s'efectua la definició. Un eixemple representatiu és el de la teoria de tipos intuicionista.

La Paradoxa de Russell és un eixemple d'una construcció impredicativa: el conjunt de tots els conjunts que no es contenen a sí mateixos. Llavors podem afirmar que este conjunt pertany a sí mateixa si i solament si no es pertany a sí mateixa.

La menor cota superior d'un conjunt és un atre eixemple clar de definició impredicativa, ya que definim a este objecte com l'element del conjunt que és major o igual que tots els demés. Està clar que estem fent referència al conjunt al com pertany tal objecte, i per tant esta definició és impredicativa.

Història

Els térmens "predicativo" i "impredicativo" varen ser introduïts per Russell (1907), encara que el seu significat ha canviat des de llavors. Solomon Feferman, per eixemple, oferix un resum històric d'abdós conceptes, i mostra al mateix temps relacions en atres temes més moderns.

El Principi del Círcul Viciós d'Henri Poincaré(1905-6, 1908)) en la finalitat de descartar les definicions susceptibles de generar contradiccions. Russell va dur açò a la pràctica en les seues Principia Mathematica junt en Alfred North Whitehead. En esta obra es va incloure, despuix de múltiples revisions, l'axioma de reducibilidad, el qual permetia assegurar l'existència immediata d'una funció predicativa equivalent a qualsevol atra funció. Este principi es va trobar en molts adversaris, entre ells el mateix Russell, que ho va qüestionar durament. Ludwig Wittgenstein, en el seu Tractatus Logico-Philosophicus, ho va tachar de axioma no-llògic, criticant la seua arbitrarietat.

El rebuig de les definicions impredicativas (mantenint la concepció clàssica dels número natural) va dur a la posició del predicativismo, defés per Henri Poincaré i Hermann Weyl en el seu Dones Kontinuum. Abdós estaven d'acort en que les definicions impredicativas eren perilloses quan es portaven a terme sobre conjunts infinits, com el que provoca la Paradoxa de Russell.

Ernst Zermelo, en el seu "Una nova prova per a la possibilitat d'un bon orde" de 1908, va presentar una secció sancera, Objecció sobre la definició no-predicativa, en la que argumenta contra "Poincaré (1906, p. 307) [que defén que] una definició és 'predicativa' i llògicament admissible si i solament si exclou tots els objectes que són depenents de la noció definida, és dir, que poden ser determinats per ella". Dona dos eixemples de definicions que no verifiquen el Principi de Poincaré: (1) L'idea de cadena de Dedekind i (2) L'us en anàlisis del màxim o mínim d'un conjunt de números "complet" prèviament definit, per eixemple, en la demostració de Cauchy del teorema fonamental de l'àlgebra. Com diu Zermelo, fins a la data ningú ha declarat que eixa demostració siga "illògica". Termina en la següent observació: «Una definició pot dependre d'atres nocions equivalents a la que està sent definida; de fet, en tota definició 'definiens' i 'definiendum' són nocions equivalents i l'aplicació estricta de les restriccions que impon Poincaré farien a totes les definicions, i per tant tota ciència, impossible».

Ramsey va argumentar que certes definicions impredicativas no són, en absolut, perilloses. Per eixemple, en el cas de parlar de 'la persona més alta d'esta habitació', s'està quantificant sobre el conjunt al que pertany l'individu que es definix, pero no sembla que açò tanque cap tipo de circularidad. Kurt Gödel també es va mostrar contrari davant el Principi de Poincaré adoptat per Russell, i per a criticar-ho va distinguir tres versions distintes del mateix, que expressen els distints punts de vista normalment confosos per atres anteriors a ell.

Vore també

• Gödel, Escher, Bach
• Logicismo
• Paradoxa de Richard
• Principia Mathematica
• Intuicionismo

Referències

• Plantilla:Cite IEP
• PlanetMath article on predicativism [1] archivat en Wayback Machine.
• John Burgess, 2005. Fixing Frege. Princeton Univ. Press.
• Solomon Feferman, 2005, "Predicativity" in The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic. Oxford University Press: 590–624.
• Stephen C. Kleene 1952 (1971 edition), Introduction to Metamathematics, North-Holland Publishing Company, Ámsterdam NY, ISBN 0-7204-2103-9. In particular cf. his §11 The Paradoxes (pp. 36–40) and §12 First inferences from the paradoxes IMPREDICATIVE DEFINITION (p. 42). He states that his 6 or baix (famous) examples of paradoxes (antinomies) llaure all examples of impredicative definition, and says that Poincaré (1905–6, 1908) and Russell (1906, 1910) "enunciated the cause of the paradoxes to lie in these impredicative definitions" (p. 42), however, "parts of mathematics we want to retain, particularly analysis, also contain impredicative definitions." (ibid). Weyl in his 1918 ("Dones Kontinuum") attempted to derive as much of analysis as was possible without the use of impredicative definitions, "but not the theorem that an arbitrary senar-empty set M of real numbers having an upper bound has a least upper bound (CF. also Weyl 1919)" (p. 43).
• Hans Reichenbach 1947, Elements of Symbolic Logic, Dover Publications, Inc., NY, ISBN 0-486-24004-5. Cf. his §40. The antinomies and the theory of types (pp. 218 — wherein he demonstrates how to create antinomies, including the definition of impredicable itself ("Is the definition of "impredicable" impredicable?"). He claims to show methods for eliminating the "paradoxes of syntax" ("logical paradoxes") — by use of the theory of types — and "the paradoxes of semantics" — by the use of metalanguage (his "theory of levels of language"). He attributes the suggestion of this notion to Russell and more concretely to Ramsey.
• Jean van Heijenoort 1967, third printing 1976, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.)