Paradoxa de Richard

En llògica, la Paradoxa de Richard és una antinomia de la teoria de conjunts i el llenguage natural que va ser descrita per primera volta pel matemàtic Jules Richard en 1905. La paradoxa s'usa comunament per a denotar l'importància de distinguir entre les matemàtiques i les metamatemáticas.

Kurt Gödel va citar específicament la antinomia de Richard com un anàlec semàntic al seu resultat de incompletitud en l'introducció de Sobre proposicions formalment indecidibles de Principia Mathematica i sistemes relacionats. La paradoxa també va ser una motivació per al desenroll de les matemàtiques impredicativas.

Descripció

La formulació original de la paradoxa, d'acort en Richard (1905) es relaciona fonamentalment al argument de la diagonal de Cantor en la incontabilidad—o innumerabilidad—del conjunt dels número real.

La paradoxa comença en l'observació de que certes expressions del llenguage natural definixen número real sense ambigüitat, mentres que atres expressions de llenguage natural no ho fan. Per eixemple, la frase «L'número real la part sancera del qual és 17 i el nésimo decimal és 0 si n és parell i 1 si n és impar» definix l'número real 17.1010101... = 1693/99, mentres que la frase «La capital d'Anglaterra» no definix un número real, tal com no ho fa la frase «l'número entero més chicotet que no pot ser definit en menys de xixanta caràcters» (vore la paradoxa de Berry)

Per lo tant existix una llista infinita de frases en anglés—de tal forma que cada frase té una llongitut finita, pero la llista en sí és de llongitut infinita—que definixen número real sense ambigüitat. Primer reacomodamos esta llista de frases en orde creixent de llongitut, despuix ordenem les frases d'igual llongitut per orde lexicogràfic (per orde de diccionari, p. eix. es pot usar còdic ASCII, les frases només contenen còdics entre el32 i el 126), de tal forma que l'ordenament és canònic. El resultat d'açò és una llista infinita dels número real corresponents: r₁, r₂, ... . Ara es definix un nou número real r de la forma següent. La part sancera de r és 0, el n-ésimo decimal de r és 1 si el n-esimo decimal de r_n no és 1, i el n-ésimo decimal de r és 2 si el n-ésimo decimal de r_n és 1.

El paràgraf anterior és una expressió en espanyol que definix a un número real r sense ambigüitat. Per lo tant r deu ser un dels números r_n. No obstant, r va ser construït per a que no puga ser igual a cap dels r_n existents (per lo tant, r és un número indefinible). Esta és la contradicció paradòxica.

Anàlisis i relació en la metamatemática

La paradoxa de Richard resulta en una contradicció insostenible, que deu ser analisada per a trobar l'error.

La definició proposta per al nou número real r clarament indica una seqüència finita de caràcters, i per lo tant sembla a primera vista que és la definició d'un número real. No obstant, la definició es referix a la definibilidad-en-el-Espanyol en sí mateixa. Si fora possible determinar qué expressions en espanyol realment definixen a un número real i quines expressions no ho fan, llavors la paradoxa continuaria. Per lo tant la resolució de la paradoxa de Richard és que no hi ha forma de determinar exactament i sense ambigüitat quina frases en espanyol són definicions d'número real (vore Good 1966). Açò és, no hi ha cap forma de descriure en una cantitat finita de paraules cóm distinguir si una expressió arbitrària en espanyol és la definició d'un número real. Açò no és cap sorpresa, ya que l'habilitat de fer esta determinació també implicaria l'habilitat de resoldre el problema de la parada i realisar qualsevol atre càlcul no-algorítmic que poguera ser descrit en espanyol.

Un fenomen similar ocorre en teories formalisades que poden referir-se a la seua pròpia sintaxis, tals com els Axioma de Zermelo-Fraenkel (ZFC). Diga's que una fòrmula φ(x) «definix un número real» si hi ha exactament un número real r tal que φ(r) és vàlit Llavors no és possible definir, d'acort en ZFC, el conjunt de tots (els números de Gödel de) les fòrmules que definixen número real. Perque si era possible definir este conjunt, seria possible diagonalizar sobre ell per a produir una nova definició d'un número real, seguint els passos generals de la paradoxa de Richard explicada anteriorment. Deu notar-se que el conjunt de fòrmules que definixen número real pot existir, com un conjunt F; la llimitació de ZFC és que no hi ha cap fòrmula que definixca a F sense fer referència a atres conjunts. Açò es relaciona en el Teorema de indefinibilidad de Tarski. L'eixemple de ZFC ilustra l'importància de distinguir la metamatemática d'un sistema formal de les declaracions del sistema formal en sí. La propietat D(φ) que establix que una fòrmula φ de ZFC definixca un número real únic no és expressable en sí dins de ZFC, sino que té que ser considerada com a part de la metateoría usada per a formalisar ZFC. Des d'este punt de vista, la paradoxa de Richard resulta de tractar la construcció de la metateoría (l'enumeració de totes les declaracions del sistema original que definixen número real) com si la construcció poguera ser realisada en el sistema original.

Vore també

• Teoria algorítmica de l'informació
• Paradoxa de Berry
• Paradoxa de Curry
• Paradoxa de Grelling-Nelson
• Paradoxa de Kleene-Rosser
• Teorema de Löb
• Conjunt ordinal definible, un concepte de la teoria de conjunts sobre la definibilidad que és en sí mateixa definible en el llenguage de la teoria de conjunts
• Paradoxa de Russell

Referències

• Bar-Hillel, Yehoshua; Lévy, Azriel (1973). Foundations of set theory., 2d rev. ed edició, Noord-Hollandsche U.M. OCLC 734311. ISBN 0-7204-2270-1.
• Mind.LXXV(299)

431–431.ISSN 0026-4423.doi:10.1093/mind/LXXV.299.431.Consultat el 2022-02-18.

• Jean van Heijenoort, van Heijenoort (2002). From Frege to Godel A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931., Harvard University Press. OCLC 1203950567. ISBN 978-0-674-25724-5.