Raonament diagramático
.png)
El raonament diagramático (també cridat raonament gràfic o conceptografía) és el que es du alvance fent us de representacions visuals dels conceptes.[2] En esta tècnica, els diagrames i els gràfics són més importants que les paraules i les expressions matemàtiques.[3]
L'orige d'esta forma de raonament deu buscar-se en els grafos de Llull i Leibniz, les llínees de Leibniz i els diagrames d'Euler.[4] No obstant, una expressió equivalent a "raonament diagramático" —encara que aplicada específicament a una notació de dos dimensions— recent apareix en 1879 en la publicació del llibre Begriffsschrift de Gottlob Frege, que ha segut traduït al castellà com Conceptografía.[5] L'història del raonament diagramático inclou també la creació per part de Peirce del sistema de gràfics existencials, una notació geomètrica-topològica-llògica que Gardner considerava "el més ambiciós sistema de llògica geomètrica que s'haja construït jamai".[6] [7][8] Shin va fer després una extensió d'eixos gràfics fins a convertir-los en una ferramenta equivalent a la tècnica clàssica d'operació en predicats monádicos de primer orde.[9] En la tradició de considerar a la llògica com "llenguage universal" varen treballar Leibniz, Frege, Russell, Wittgenstein, Carnap, Quine, Strawson i, més recentment, Luetich.[7][10] S'ha mostrat que el llenguage de diagrames i gràfics permet establir relacions de llarc alcanç: per eixemple, entre les matemàtiques, l'ontologia, la dialèctica, la llògica, la semiologia i la fenomenologia.[11][12][13]
Lingua i calculus
[editar | editar còdic]
La characteristica universalis és el llenguage formal universal que Leibniz va imaginar per a expressar conceptes matemàtics, científics i filosòfics.[10] En la seua vasta obra, Leibniz va formular el llenguage universal de vàries maneres, un resum de les quals es troba en la série d'artículs editats per G. H. R. Parkinson.[14]
L'objectiu de Leibniz era usar eixe llenguage en un sistema de càlcul llògic universal de tipo computacional, el calculus ratiocinator.[15] En paraules del propi Leibniz, en un sistema tal, «de sorgir controvèrsia, dos filòsofs no tindrien que discutir més que dos matemàtics. Seria suficient que prengueren paper i llapis, s'assentaren i digueren: ‹¡Calculem!›».[16] D'ahí que Russell haja traduït l'expressió llatina characteristica universalis com "matemàtica universal".[16]
En resum, la proposta de Leibniz era: trobar un llenguage que permeta aplicar regles d'inferència a conceptes matemàtics i no matemàtics.
| raonament diagramático | llenguage | characteristica universalis |
| demostracions | calculus ratiocinator |
El llenguage té les seues regles de construcció, cridades regles sintàctiques. Les demostracions són fetes respectant regles que establixen la direcció del raonament, les regles semàntiques.
Molts pensadors varen reprendre esta idea de Leibniz. Frege, per eixemple, va introduir la Conceptografía com un calculus ratiocinator en el seu lingua characteristica, i —segons Kluge— eixa obra va estar conscientment inspirada en les idees de Leibniz.[17] Atres pensadors, en canvi, no la varen mencionar. Tal és el cas de Peirce, qui creïa que tot raonament era, en última instància, diagramático.[18]
El geni de Leibniz va ser reconegut per Grassmann quan, en l'introducció al seu Anàlisis Geomètric, va deixar escrit que idees com la de la characteristica posaven al filòsof per damunt d'atres pensadors del seu temps.[19] Sobre este punt va tornar molt despuix Heath.[20] Norbert Wiener vea en la màquina de Leibniz un antecedent de les computadores actuals.
Llenguage
[editar | editar còdic]Els diagrames constituïxen el llenguage d'este tipo de raonament. També són usats els grafos, que establixen conexions i en molts aspectes són equivalents als diagrames.
Diagrames
[editar | editar còdic]El sistema universal de Leibniz tenia dos components: un llenguage (characteristica) i un método (calculus). Abdós eren inseparables al punt que els seus noms són usats moltes voltes com a sinònims. Este fet es pot interpretar de dos maneres:
- darrere d'abdós està la llògica,[21] la qual cosa obliga a donar-li a la veu grega &#;o&#;&#;&#; simultàneament els significats de "paraula" i "raó",[22] o
- les definicions són una cosa (ontologia) i les operacions que en elles es fa són una atra (llògica).[23]
Adoptant el segon punt de vista, els diagrames poden ser classificats en ontològics (els de Euler, els de Venn de conjunts i els totals), topològics (els diagrames de Peirce estesos, els de Shin i els diagrames en aranyes) o llògics (els de Venn d'enunciats i els diagrames "alfa" i "beta" de Peirce).
Diagrames ontològics
[editar | editar còdic]Són els diagrames que mostren ents ("elements") i les definicions que a ells se'ls ha aplicat ("conjunts").[24]
Diagrames de Leibniz
[editar | editar còdic]En els primitius diagrames de Leibniz els conjunts eren representats en llínees contínues. Les mateixes se superponien en les interseccions (indicades en segments discontinus).
|
| diagrama de Leibniz |
Leibniz també va usar círculs, pero va trobar que en certs casos estos requerien signes suplementaris.
Les llínees de Leibniz constituïxen una mostra de la lingua characteristica.[25]
Diagrames de Euler
[editar | editar còdic]
En els diagrames de Euler (a voltes cridats "círculs de Euler"), es mostren les llínees de definició dels conjunts i cada regió (d'elements propis o de superposició) conté a lo manco un element.
| Diagrama de Euler |
| diagrama de Euler |
Quan no hi ha elements que responguen a certa combinació de definicions, la regió no es representa.
Els diagrames de Euler varen fer de pont entre els primitius diagrames de Leibniz i els diagrames de Venn, àmpliament usats hui.
Diagrames de Venn de conjunts
[editar | editar còdic]
Els diagrames de Venn de conjunts mostren totes les regions possibles (en este cas, 7, dos d'elles sombreadas per estar buides) més la regió dels elements que no responen a cap definició (totalisant 8).
| Diagrama de Venn |
| diagrama de Venn de conjunts |
El rectàngul del diagrama de Venn representa el conjunt dels elements presos en conte (conjunt universal, O). Venn mai va representar a l'universal en els seus treballs, pero va ser qui va introduir l'expressió "univers del discurs".
Diagrames totals 2D
[editar | editar còdic]Els diagrames totals de dos dimensions mostren els elements definits, els que no responen a cap definició i alguns dels que no han segut considerats.
| Diagrama de Luetich 2D |
| diagrama total 2D |
En el diagrama total en dos dimensions es representa la regió de les definicions, el "cosmos" (blanca), i la de lo no definit, el "caos" (gris); abdós constituïxen el Tot.[12] El diagrama total permet resoldre de manera elegant el problema que Humpty Dumpy li va plantejar a Alicia en l'obra A través de l'espill de Lewis Carroll. Este problema no és tan senzill com ho fa semblar el format de conte infantil elegit per l'autor perque planteja a un mateix temps el dilema matemàtic "ser A-ser no A" i la qüestió filosòfica "mostrar-se-ocultar-se".[26]
Diagrames topològics
[editar | editar còdic]Són els diagrames que mostren la posició relativa dels conjunts, pero no els elements. La forma, el tamany i la posició de les llínees tancades no tenen importància.
Regions possibles
[editar | editar còdic]En els diagrames de conjunts de Euler i de Venn es posa émfasis en indicar les regions possibles. En els diagrames de Euler, solament són representades les regions en les que pugues haver elements. En els diagrames de Venn, a les regions que no contenen elements li les anula sombreándolas.[27]
| Diagrama de Euler topología | Diagrama de Venn topología |
| diagrama de Euler | diagrama de Venn |
En estos eixemples es mostra que no hi ha elements que pertanyguen a A i C que no siguen també de B, ni tampoc elements que pertanyguen exclusivament a C. En el diagrama de Venn de conjunts cada regió sombreada és —per a usar una expressió de Leibniz— una combinatio impossibilis. Es tracta llavors de diagrames topològics.[28]
Topología flexible
[editar | editar còdic]En un intent per flexibilisar la topología dels sistemes, Peirce va introduir en els diagrames de Venn la notació llògica corresponent a la disjunció. En això va crear els diagrames d'topología flexible. A esta extensió de Peirce varen seguir atres dos (Venn-I i Venn-II), propostes per Shin.[29]
Extensió de Peirce
[editar | editar còdic]
L'extensió de Peirce dels diagrames de Euler-Venn introduïx tres símbols:
- "o" per a reemplaçar al sombreado,
- "x" per a indicar importació existencial, i
- "–" (llínea) per a unir els dos anteriors i indicar disjunció.[29]
Aixina, per eixemple, el següent diagrama representa la proposició: «Tot element de B és de A o alguns elements de B són de A».
| Extensió de Peirce |
| extensió de Peirce |
Esta proposició topològica no es podria representar en un diagrama de Euler: seria necessari usar dos i buscar alguna manera d'indicar la disjunció.
| Extensió de Peirce - Diagrama de Euler 1 | Extension de Peirce - Diagrama de Euler |
| «Tot element de B és de A» | «Alguns elements de B són de A» |
Les ventages de la notació de Peirce, en este cas, són grans. No obstant, quan les proposicions són més complexes, la llectura del diagrama es torna dificultosa.[29]
Primera extensió de Shin (Venn-I)
[editar | editar còdic]Esta extensió té les següents característiques:
- torna al sombreado de regions per a indicar que estes no poden ser ocupades,
- usa el símbol "x" de Peirce, i
- usa el símbol "–", introduït per Peirce.[29]
| Extensió de Shin | Extensió de Shin - Peirce |
| diagrama de Shin (Venn-I) | diagrama de Peirce |
En estos diagrames (equivalents), les dos premisses són:
- «Cap element és només de B», i
- «B té algun element».
La conclusió, per lo tant, és: «Algun element pertany simultàneament a B i A».
Segona extensió de Shin (Venn-II)
[editar | editar còdic]Esta extensió té les mateixes característiques que l'anterior, pero agrega la possibilitat de conectar dos diagrames —que en este cas tenen representat el conjunt universal— en una llínea de disjunció.[29]
| Extension de Shin - Venn II | Extension de Shin - Venn II - Peirce |
| diagrama de Shin (Venn-II) | diagrama de Peirce |
La proposició, en este cas, és: «O tot element de A és element de B i algun element de A és de B, o cap element de A és de B i algun element de B no és de A». El diagrama simple de Peirce és de llectura més difícil que el corresponent diagrama doble de Shin.
Aranyes
[editar | editar còdic]Els diagrames en aranyes són una extensió dels diagrames de Euler, i per lo tant en ells hi ha informació topològica. Li'ls obté introduint restriccions de dos tipos: agregant "aranyes" (seqüències x de Peirce generalisades) i sombreando regions. La presència d'una aranya indica l'existència d'un element en el seu "hàbitat" (la regió a on es troba). Una regió sombreada és la que no conté més elements que els que indiquen les aranyes corresponents. Si una regió sombreada no té aranyes, està buida. Dos aranyes unides per una llínea indiquen l'existència de per lo manco un element en les regions involucrades. El nom "aranya" s'ha elegit perque en diagrames complexos moltes llínees poden eixir de cada punt, com els fils d'un nodo d'una taranyina.[27]
| Diagrama arrapa |
| diagrama en aranyes |
El diagrama de la figura indica que:
- C està contingut en B;
- A – B té exactament dos elements;
- hi ha a lo manco un element en B – A.
El diagrama té 3 llínees llímit de conjunts (definicions), indicades en els ròtuls A, B i C, i 6 regions, per eixemple la regió el contorn de la qual és B pero que no conté elements ni de A ni de C. Una zones està sombreada i conté només 2 elements. El diagrama conté 3 aranyes: 2 d'un peu l'hàbitat del qual és la zona dels elements de A que no pertanyen a B i 1 "articulada", en la regió dels elements que són de B pero no de A.[27]
Diagrames llògics
[editar | editar còdic]Són els diagrames que mostren els resultats d'operacions llògiques.
Diagrames de Venn d'enunciats
[editar | editar còdic]Els diagrames de Venn d'enunciats mostren el resultat d'una operació en enunciats (en este cas, A &#; B) en colors, que en este cas són: vert, quan la regió correspon al resultat; roig, quan no. Este és el còdic del semàfor de dos colors.
| Diagrama de Venn d'enunciats |
| diagrama de Venn d'enunciats |
Gràfics existencials "alfa" de Peirce
[editar | editar còdic]En els gràfics existencials "alfa" de Peirce (gràfics que conecten enunciats), la conjunció es representa colocant els enunciats sense solució de continuïtat i la negació es representa com un "retallada" de la "full d'enunciats" (una llínea curva tancada). En el següent diagrama es mostra la proposició ¬((¬A) &#; (¬B)), equivalent a A &#; B.[6]
| Diagrama "alfa" de Peirce |
| gràfic "alfa" de Peirce |
En fer demostracions o quan els diagrames són complexos, és convenient sombrear les zones tancades per un número impar de retallades, com s'ha fet més avall.
Gràfics existencials "beta" de Peirce
[editar | editar còdic]En els gràfics existencials "beta" de Peirce (gràfics que conecten predicats), hi ha quantificadors aplicats a ents, no a definicions. A estes expressions Peirce les va cridar "de primer orde". En estos gràfics, l'autor va introduir la "llínea d'identitat" o "llínea d'importació existencial" (–):
- l'expressió –A es llig «alguna cosa [o algú] és A», és dir, &#;x | x &#; A;
- l'expressió A—B es llig «alguna cosa [o algú] és A i B», és dir, &#;x | x &#; A &#; x &#; B.
De la mateixa manera que en els gràfics "alfa", les conexions de dos predicats poden ser fetes recorrent a "retallades".[18]
| Peirce - some A is B | Peirce - some A is B | «algun A és B» |
| Peirce - no A is B | Peirce - no A is B | «cap A és B» |
| Peirce - some A is not B | Peirce - some A is not B | «algun A no és B» |
| Peirce - every A is B | Peirce - every A is B | «tot A és B» |
La notació de la columna esquerra evita que les retallades ocupen tant espai.
Diagrama total 3D
[editar | editar còdic]El diagrama total de tres dimensions és una extensió dels diagrames de Venn que forma part de la teoria del coneiximent presentada en una série d'artículs filosòfics per Juan José Luetich.[24] La seua estructura és la d'un arbre en tres forcalls.[30] Les dos primeres varen sorgir d'un anàlisis de l'obra Sobre la Naturalea de Parménides.[30] L'última correspon a un diagrama de Venn d'una sola definició.[31]
| Diagrama total - Juan José Luetich | Diagrama total (símbols) - Juan José Luetich |
| diagrama total 3D | clau per a interpretar les regions |
_-_Juan_Jos%C3%A9_Luetich.png){kind=link}
De tots els ents que la ment humana pot concebre (reals, imaginaris, concrets, abstractes), el Tot, uns pocs formen part del seu univers, O. D'eixos ents, a la seua volta, només alguns es corresponen en una definició o concepte, A. Els ents definits —per respondre a una definició o per opondre's a ella (A o A)— formen part de la regió blanca, l'univers o "cosmos", ya que han segut "ordenats" per la definició. Els ents no definits existixen, pero estan amagats en la regió grisa, formen part de el "caos", del lloc a on no hi ha conceptes ni orde.[12]
Grafos
[editar | editar còdic]Els grafos són construccions que sorgixen de representar elements i les seues conexions.[32] La teoria de grafos, com la teoria de conjunts, està íntimament lligada a la topología.[33][34]
Quadrat d'oposició
[editar | editar còdic]
Aristóteles, en fundar la llògica, va posar la seua atenció en alguns quantificadors usats en el llenguage natural: tot, algun, cap, no tot.[35] Estos poden ser expressats usant la notació de Peirce de predicats (gràfics existencials "beta"). El clàssic "quadrat d'oposició de juïns" d'Aristóteles quedaria llavors representat com es mostra en la figura.
| El "quadrat d'oposició" d'Aristóteles en la notació de Peirce |
| El "quadrat d'oposició" d'Aristóteles en la notació de Peirce |
Diamant de Leibniz
[editar | editar còdic]
En el gravat de la portada del llibre D'Art Combinatòria de 1666, Leibniz hauria donat una atra mostra del seu llenguage universal.[36] En ell es representa l'idea dels antics de que totes les coses materials estan fetes de terra, aigua, aire i fòc, "elements" que combinen les qualitats de: fret, humit, calent i sec. Entre elements, entre qualitats, i entre elements i qualitats, han segut dibuixades llínees, cada una en un ròtul. Aixina, per eixemple, als nodos SICCITAS i HVMIDITAS ("sequetat" i "humitat") li'ls ha conectat en una llínea rotulada Combinatio impossibilis ("combinació impossible"). En atres térmens, dels elements d'estos dos conjunts, el gravat mostra les conexions, objecte d'estudi de la topología. La characteristica és, en este cas, una notació topològica.[37] El següent grafo és una variant del Diamant de Leibniz, que mostra la relació entre elements i qualitats a la manera d'un grafo bipartido.[37]
.png){kind=link}
Quan dos qualitats concorren en un element és perque la seua combinació és possible. Per eixemple, CALIDITAS i HVMIDITAS concorren en AER. Quan dos qualitats no es troben en cap element, la seua combinació és impossible. Tal és el cas de HVMIDITAS i SICCITAS.[37] En estos elements i qualitats, subjectes a les restriccions mencionades, es pot deduir la cantitat de combinacions possibles.
El diamant de Leibniz pot ser representat sense recórrer a un grafo partit, simplement usant quatre conjunts. En este cas, a menos que als conjunts li'ls dibuixe com a rectànguls, quedarien regions buides. Per a indicar eixa situació es pot fer us d'un diagrama en aranyes.[37]
| ignis - aer - aqua - terra (Leibniz, Germán Schultze - Luventicus) 2 | ignis - aer - aqua - terra (Leibniz, Germán Schultze - Luventicus) 3 |
| diagrama de conjunts | diagrama en aranyes |
_2.png){kind=link}
_3.png){kind=link}
Estes representacions actuals del tema que Leibniz va prendre dels antics per a ilustrar el seu llibre d'anàlisis combinatori mostren lo que ha segut l'història del raonament diagramático, un àrea de treball en la que s'ha tornat sempre sobre els mateixos complexos problemes, des de la perspectiva d'especialistes en les matèries més diverses.[37]
Arbres
[editar | editar còdic]Els arbres són uns grafos especials en estructura jeràrquica, que poden ser usats per a donar la mateixa informació topològica que els diagrames de Euler i de Venn.[31][38]
| Arbre del diagrama de Euler | Diagrama de Euler de l'arbre |
| arbre del diagrama de Euler | diagrama de Euler |
| Arbre del diagrama de Venn | Diagrama de Venn de l'arbre |
| arbre del diagrama de Venn | diagrama de Venn |
Cada arbre mostra les regions possibles del diagrama que està a la seua dreta. Les primeres 2 branques corresponen al conjunt A; les restants 4, al conjunt B. En el diagrama de Euler, la branca de no pertinença (&#;) a A apareix de color gris, ya que no és una regió possible. En conseqüència, també estan d'eixe color les branques derivades. En el diagrama de Venn, ya que es definix un conjunt universal, la no pertinença a A és possible, exceptuant el cas de pertinença (&#;) simultànea a B.[31]
Notació bidimensional
[editar | editar còdic]
La notació bidimensional de Frege permet representar les operacions llògiques en conexions.[39]
| notació bidimensional de Frege |
| notació bidimensional de Frege |
Este esquema representa la disjunció llògica A &#; B, o millor, ¬A &#; B.[40]
En el seu treball sobre els axioma del càlcul proposicional, Frege recorria només a les operacions negació i implicació.
Observe's que la notació dels diagrames "beta" de Peirce —en retallades abreviades o no— també és bidimensional, com es pot vore clarament en la llistade regles d'inferència.
Vore també
[editar | editar còdic]Referències
[editar | editar còdic]- ↑ "Camí del ser i diagrama total" [1] archivat en Wayback Machine., Actes – Editorials, Rosario, Acadèmia Luventicus, 2013
- ↑ Gerard Allwein i Jon Barwise (editors), Logical Reasoning with Diagrams, Studies in Logic and Computation, Nova York, Oxford University Press, 1996
- ↑ Michael Anderson, "Reasoning with Diagrammatic Representations", AI Magazine, Vol. 19 No. 2, Pal Alt, Association for the Advancement of Artificial Intelligence, 1998
- ↑ Margaret E. Baron, "A Note on the Historical Development of Logic Diagrams: Leibniz, Euler and Venn", The Mathematical Gazette, Vol. 53 No. 384, Leicester, The Mathematical Association, 1969
- ↑ Friedrich Ludwig Gottlob Frege, Begriffsschrift. Eine Der Arithmetischen Nachgebildete Formelsprache Dones Regnen Denkens, Trobe, Louis Nebert, 1879
- ↑ 6,0 6,1 Charles Hartshorne – Paul Weiss (compiladors), capítul IV: "Symbolic Logic" – "Existential Graphs" – "On Existential Graphs, Euler’s Diagrams, and Logical Algebra", The Collected Papers of Charles Sanders Peirce, Cambridge, Harvard University Press, 1931–5
- ↑ 7,0 7,1 João Queiroz – Frederik Stjernfelt, "Introduction: Diagrammatical reasoning and Peircean logic representations", Semiotica, Vol. 186 No. 1/4, Berlín, Walter de Gruyter, 2011
- ↑ Martin Gardner, Logic machines and diagrams, Chicago, University of Chicago Press, 1982
- ↑ Sun-Joo Shin, The logical status of diagrams, Cambridge, Cambridge University Press, 1994
- ↑ 10,0 10,1 "Diagrames ontològics: de Leibniz a Luetich" [2] archivat en Wayback Machine., Actes – Editorials, Rosario, Acadèmia Luventicus, 2013
- ↑ Juan José Luetich, "Ontologia i dialèctica", Actes – Suplement 1, 1 (1) 2, Rosario, Acadèmia Luventicus, 2003
- ↑ 12,0 12,1 12,2 Juan José Luetich, "Glossari d'ontologia", Actes – Suplement 1, 1 (2) 1, Rosario, Acadèmia Luventicus, 2003
- ↑ Frederik Stjernfelt, The Diagrammatology: An investigation on the borderlines of phenomenology, ontology, and semiotics, Dordrecht, Springer Verlag, 2007
- ↑ G. H. R. Parkinson, Leibniz: Logical Papers, Oxford, Clarendon, 1966
- ↑ Nicholas Rescher, "Review of On the Project of a Universal Character by Jonathan Cohen", Journal of Symbolic Logic, Vol. 19 No. 133, Newton, Association for Symbolic Logic, 1969
- ↑ 16,0 16,1 Bertrand Russell, A critical exposition of the philosophy of Leibniz, with an appendix of leading passages, Cambridge, Cambridge University Press, 1900
- ↑ E. H. W. Kluge, "Frege, Leibniz and the notion of an ideal language", Studia Leibnitiana, 12, Stuttgart, Franz Steiner, 1980.
- ↑ 18,0 18,1 P. N. Johnson-Laird, "Peirce, logic diagrams, and the elementary operations of reasoning", Thinking and reasoning, Vol. 8 No. 1, Abingdon, Psychology Press, 2002
- ↑ Hermann Günther Grassmann, Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik, Leipzig, Weidmann'sche Buchhandlung, 1847
- ↑ A. E. Heath, "The geometrical analysis of Grassmann and its connection with Leibniz's characteristic", The Monist, Vol. 27 No. 1, Búfalo, Hegeler Institute, 1917
- ↑ Jean van Heijenoort, "Logic as calculus and logic as language", Synthese, 17, Dordrecht, Springer, 1967
- ↑ Juan José Luetich, "Ser i pertànyer", Actes – Suplement 1, 1 (2) 1, Rosario, Acadèmia Luventicus, 2008
- ↑ Juan José Luetich, "Logos: inteligència, paraula, sentit, raó", Actes – Suplement 1, 1 (6) 1, Rosario, Acadèmia Luventicus, 2004
- ↑ 24,0 24,1 Volum I: "Filosofia i Humanitats" [3] archivat en Wayback Machine. Actes – Suplement 1, Rosario, Acadèmia Luventicus
- ↑ L. Couturat (editor), "Generals Inquisitiones de Analysi Notionum et Veritatum", Opuscules et Fragments Inédits de Leibniz, París, Alcan, 1903
- ↑ "El no natalici de Humpty Dumpty" [4] archivat en Wayback Machine., Actes – Editorials, Rosario, Acadèmia Luventicus, 2013
- ↑ 27,0 27,1 27,2 John Howse – Gem Stapleton – John Taylor, "Spider diagrams", Journal of Computation and Mathematics, 8, Londres, London Mathematical Society, 2005
- ↑ Juan José Luetich, "Operacions en tres onjuntos" [5] archivat en Wayback Machine., Luventicus – Universitat, 15, Rosario, Acadèmia Luventicus, 2003
- ↑ 29,0 29,1 29,2 29,3 29,4 Edward N. Zalta – Uri Nodelman – Colin Allen (editors), artícul: "Diagrams", Stanford Encyclopedia of Philosophy, Stanford, Metaphysics Research Lab – Center for the Study of Language and Information – Stanford University, 2001–2013
- ↑ 30,0 30,1 Juan José Luetich, "Els tres forcalls del Camí del Ser", Actes – Suplement 1, 1 (2) 3, Rosario, Acadèmia Luventicus, 2003
- ↑ 31,0 31,1 31,2 "Diagrames i arbres" [6] archivat en Wayback Machine., Actes – Editorials, Rosario, Acadèmia Luventicus, 2013
- ↑ W. T. Tutte, Graph Theory, Cambridge, Cambridge University Press, 2001
- ↑ J. L. Gross – T. W. Tucker, Topological graph theory, Nova York, Wiley Interscience, 1987
- ↑ Kenneth Kunnen – Jerry E. Vaughan (editors), Handbook of Set-Theoretic Topology, Ámsterdam, North Holland, 1985
- ↑ Duilio D'Alfonso, "Generalized Quantifiers: Logic and Language"], Logic and Philosophy of Science, Vol. 9 No. 1, Trieste, Dipartimento vaig donar Studi Umanistici – Università degli Studi vaig donar Trieste, 2011
- ↑ Gottfried Wilhelm Leibniz, Dissertatio d'Art Combinatòria, 1666
- ↑ 37,0 37,1 37,2 37,3 37,4 "El Diamant de Leibniz" [7] archivat en Wayback Machine., Actes – Editorials, Rosario, Acadèmia Luventicus, 2013
- ↑ Reinhard Diestel, Graph Theory, 3a. edició, Berlín – Nova York, Springer, 2005
- ↑ Dov M. Gabbay – John Woods, The Rise of Modern Logic: From Leibniz to Frege, Handbook of the History of Logic, Vol. 3, Ámsterdam, Elsevier – North Holland, 2004
- ↑ Edward N. Zalta – Uri Nodelman – Colin Allen (editors), artícul: "Gottlob Frege", Stanford Encyclopedia of Philosophy, Stanford, Metaphysics Research Lab – Center for the Study of Language and Information – Stanford University, 2001–2013
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Razonamiento diagramático» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.