Família indexada

En matemàtiques, una família, o família indexada, és informalmente una colecció d'objectes, cada u d'ells associat en un índex d'algun conjunt índex. Per eixemple, una família de número real, indexada pel conjunt dels número entero, és una colecció d'número real, a on una funció determinada selecciona un número real per a cada número entero (possiblement el mateix) com a indexación.

Més formalment, una família indexada és una funció matemàtica junt en la seua domini $I$ i el seu image $X$ (és dir, les famílies indexades i les funcions matemàtiques són tècnicament idèntiques, solament que els punts de vista són diferents). A sovint es fa referència als elements del conjunt $X$ com els que componen la família. Des d'esta visió, les famílies indexades s'interpreten com a coleccions d'elements indexats en lloc de funcions. El conjunt $I$ es denomina "conjunt índex" de la família, i $X$ és el propi "conjunt indexat".

Les seqüències són un tipo de famílies indexades per número natural. En general, el conjunt d'índexs $I$ no està restringit a ser numerable. Per eixemple, es podria considerar una família innumerable de subconjunts d'número natural indexats pels número real.

Definició formal

Siguen els conjunts $I$ i $X$; i siga $f$ una funció tal que

$\begin{array}{cc}f:& I\to X\\ & i\mapsto x_i=f(i),\end{array}$

a on $i$ és un element de $I$ i l'image $f(i)$ de $i$ baix la funció $f$ es denota per $x_i$. Per eixemple, $f(3)$ es denota per $x_3.$ El símbol $x_i$ s'utilisa per a indicar que $x_i$ és l'element de $X$ indexat per $i\in I.$ La funció $f$ establix aixina una família d'elements en $X$ indexats per $I,$ que es denota per ${\left(x_i\right)}_{i\in I},$ o simplement $\left(x_i\right)$ si se supon que es coneix el conjunt d'índexs. A voltes s'utilisen corchetes angulars o claus en lloc de paréntesis, encara que l'us de claus implica el risc de confondre famílies indexades en conjunts.

Les funcions i les famílies indexades són formalment equivalents, ya que qualsevol funció $f$ en un domini $I$ induïx una família $(f(i){)}_{i\in I}$ i viceversa. Ser element d'una família equival a estar en el ranc de la funció corresponent. En la pràctica, no obstant, la família es considera una colecció més que una funció.

Qualsevol conjunt $X$ dona lloc a una família ${\left(x_x\right)}_{x\in X},$ a on $X$ està indexat per sí mateixa (lo que significa que $f$ és la funció d'identitat). No obstant, les famílies es diferencien dels conjunts en que el mateix objecte pot aparéixer vàries voltes en diferents índexs en una família, mentres que un conjunt és una colecció d'objectes distints. Una família conté qualsevol element exactament una volta si i solament si la funció corresponent és inyectiva.

Una família indexada ${\left(x_i\right)}_{i\in I}$ definix un conjunt $𝒳=\{x_i:i\in I\},$ és dir, l'image de $I$ baix $f.$ Ya que no és necessari que l'aplicació $f$ siga inyectiva, pot existir $i,j\in I$ en $i\ne j$ tal que $x_i=x_j.$ Per lo tant, $|𝒳|\le |I|$, a on $|A|$ denota el cardinal del conjunt $A.$ Per eixemple, la seqüència ${((-1{)}^i)}_{i\in \mathbb{N}}$ indexada pels número natural $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$ té el conjunt d'imàgens $\{(-1{)}^i:i\in \mathbb{N}\}=\{-1,1\}.$ Ademés, el conjunt $\{x_i:i\in I\}$ no conté informació sobre cap estructura en $I.$ Per lo tant, en utilisar un conjunt en lloc d'una família, es podria perdre part de l'informació. Per eixemple, un orde en el conjunt d'índexs d'una família induïx un orde en la família, pero no un orde en el conjunt d'imàgens corresponent.

Subfamília indexada

Una família indexada ${\left(B_i\right)}_{i\in J}$ és una subfamília d'una família indexada ${\left(A_i\right)}_{i\in I},$ si i solament si $J$ és un subconjunt de $I$ i $B_i=A_i$ s'aplica a tots els $i\in J.$

Eixemples

Vectores indexats

Per eixemple, considere's la següent oració:

Ací, ${\left(v_i\right)}_{i\in \{1,\dots ,n\}}$ denota una família de vectores. El $i$-ésimo vector $v_i$ solament té sentit sobre esta família, ya que els conjunts estan desordenats, per lo que no existix un $i$-ésimo vector d'un conjunt. Ademés, l'independència llineal es definix com una propietat d'una colecció; i per lo tant, és important si estos vectores són linealmente independents com a conjunt o com a família. Per eixemple, si es considera $n=2$ i $v_1=v_2=(1,0)$ com el mateix vector, llavors el "conjunt" d'ells consta d'un sol element (ya que el conjunt és una colecció d'elements distints desordenats) i és linealmente independent, pero la família conté els mateixos elements dos voltes (ya que està indexat de manera diferent) i és linealmente depenent (els mateixos vectores són linealmente dependents).

Matrius

Suponga's que un text afirma lo següent:

Com en l'eixemple anterior, és important que les files de $A$ siguen linealmente independents com a família, no com a conjunt. Per eixemple, considere's la matriu:

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right].$

El conjunt de les files consta d'un sol element $(1,1)$ ya que un conjunt està format per elements únics, per lo que és linealmente independent, pero la matriu no és invertible, ya que la seua determinant és 0. Per un atre costat, la família de les files conté dos elements indexats de manera diferent, com la primera fila $(1,1)$ i la segona fila $(1,1)$, per lo que és linealmente dependent. Per lo tant, l'afirmació és correcta si es referix a la família de files, pero incorrecta si es referix al conjunt de files. L'afirmació també és correcta quan s'interpreta que "les files" es referixen a un multiconjunto, en el que els elements també es mantenen distints pero que carix de part de l'estructura d'una família indexada.

Atres eixemples

Siga $𝐧$ el conjunt finito $\{1,2,\dots n\},$ a on $n$ és un número entero positiu.

• Un parell ordenat (2-tupla) és una família indexada pel conjunt de dos elements, $\mathrm{𝟐}=\{1,2\};$ cada element del parell ordenat està indexat per cada element del conjunt $\mathrm{𝟐}.$
• Una $n$-tuple és una família indexada pel conjunt $𝐧.$
• Una seqüència infinita és una família indexada pels número natural.
• Una llesta és una $n$-tupla per a un $n$ no especificat o una seqüència infinita.
• Una matriu d'orde $n\times m$ és una família indexada pel producte cartesiano $𝐧\times 𝐦$, els elements del qual són parells ordenats (per eixemple, $(2,5)$ indexa l'element de la matriu en la segona fila i la quinta columna).
• Una ret és una família indexada per un conjunt dirigit.

Bibliografia

• Mathematical Society of Japan, "Encyclopedic Dictionary of Mathematics" (Diccionari Enciclopèdic de Matemàtiques), 2.ª edició, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Citat com EDM (volum).