Proyecció (matemàtiques)

La conmutatividad d'este diagrama és l'universalitat de la proyecció π, per a qualsevol mapage f i conjunt X

En general, una proyecció en matemàtiques és una aplicació sobre un conjunt (o una estructura matemàtica) que és idempotent, és dir, que la proyecció és igual a la composició en si mateixa. Una proyecció pot referir-se també a una aplicació que tinga inversa a l'esquerra, quedant abdós nocions fortament relacionades com seguix:

Siga p una aplicació idempotent d'un conjunt I sobre sí mateixa (és dir, p∘p = p) i siga F=pp(I) l'image de p. Denotant per π a l'aplicació p com una aplicació des de I en F i per i la funció inyectiva associada de F en I, llavors es té que i∘π = AneuF. Per un atre costat, i∘π = AneuF implica que π∘i és idempotent.

-La noció de proyecció apareix originalment en el context de la geometria euclidiana per a denotar la proyecció del espai euclidiano de dimensió 3 sobre un pla contingut en ell. Les dos principals proyeccions d'este tipo són:

• La proyecció d'un punt en un pla o proyecció central: Si C és el punt denominat centre de la proyecció, la proyecció d'un punt P distint de C és l'intersecció de la llínea CP en el pla. Si els punts P són tals que la llínea CP és paralela al pla, llavors no existix image baix la proyecció.
• La proyecció en un pla paralel a la direcció D: L'image d'un punt P és l'intersecció en el pla de la llínea paralela a D que passa per P.

Vàries atres proyeccions, denominades sistemes de proyecció es varen definir per les necessitats de la cartografia, mentres que vàries proyeccions tridimensionals estan en el centre de la teoria de la perspectiva.

La necessitat d'unificar abdós tipos de proyeccions i definir l'image baix una proyecció central de qualsevol punt distint del centre de proyecció dona orige a la geometria proyectiva.

La noció original de proyecció s'ha estés o generalisat a varis contexts matemàtics, que en freqüència tenen alguna relació en la geometria. A continuació es proporcionen alguns eixemples:

• En teoria de conjunts:
  • Qualsevol operació caracterisada pel j-eximixc mapage de proyecció, escrit troy_j&Mbps;, que pren una element x = (x₁,..., x_j&Mbps;,..., x_k) del producte cartesiano X₁ &claves; … &claves; X_j &claves; … &claves; X_k al valor proy_j (x) = x_j . Este mapage sempre és suprayectivo.
  • Un mapage que pren un element al seu classe d'equivalència baix qualsevol relació d'equivalència es coneix com una proyecció canònica.
  • El mapage d'evaluació envia una funció f al valor f(c) per a qualsevol valor fix c. L'espai de funcions I^X es pot identificar en el producte cartesiano $\prod _{i\in X}{Y}_i$, i el mapage evaluació és un mapage de proyecció des del producte cartesiano.
• En teoria de categories, el concepte mencionat de producte cartesiano de productes es generalisa a categories arbitràries. El producte de certs objectes té un morfismo canònic de proyecció en cada factor. Esta proyecció pot tindre formes diverses en categories diferents: la proyecció del producte cartesiano de conjunts, de la topología producte d'espais topològics (que és sempre un mapage obert suprayectivo), o del producte directe de grups, etc. Encara que estos morfismos són por lo regular epimorfismes, açò no té perqué ser necessàriament aixina.

• En àlgebra llineal, una transformació llineal que permaneix invariante en ser aplicada dos voltes (p(o) = p(p(o))), és dir, un operador idempotent. Per eixemple, el mapage que du un punt (x, i, z) al punt (x, i, 0) en el pla és una proyecció. Este tipo de proyecció es generalisa de forma natural a un número arbitrari de dimensions, tant per al domini com per al contradominio. En el cas de proyeccions ortogonals, l'espai admet una descomposició com a producte i l'operador de proyecció correspon a una proyecció en eixe atre context.
• En topología, un retracte és un mapage continu r: X → X que es restringix a l'identitat en la seua image. Açò satisfà una condició de idempotencia r² = r i pot considerar-se una generalisació del mapage de proyecció. Un retracte que és homotópico a l'identitat es denomina retracte de deformació. El terme també s'usa en teoria de categories per a referir-se a qualsevol epimorfisme que se separa.