Propietats de les operacions binarias

Archiu:Operación 02abc1.svg

En àlgebra les operacions binarias internes en el conjunt A, o be les aplicacions de A x A en A:

$\begin{array}{cccc}\odot :& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a\odot b\end{array}$

són les de major interés, perque s'utilisen tant en els sistemes numèrics més abstractament, relacions binarias en els sistemes algebraics. Les operacions gogen de certes propietats, usades en freqüència en la axiomatisació dels diversos sistemes matemàtics, en paraules de Birkhoff.

Propietats d'una llei de composició interna

Donat un conjunt A no buit i definida una aplicació de $A\times A$ sobre A, a on a cada parell ordenat (a,b) se li assigna un valor c de A, que representem: $(A,\odot )$

$\begin{array}{cccc}\odot :& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a\odot b\end{array}$

Poden tindre les següents propietats:

Conmutatividad

Vore també: Propietat conmutativa

Donat un conjunt no buit A, en el que s'ha definit una llei de composició interna $\odot$, que es representa: $(A,\odot )$, es diu que $\odot$ té la propietat conmutativa en A si es complix:

$\mathrm{\forall }a,b\in A:a\odot b=b\odot a$

Per a tot a, b de A, es complix que el resultat d'operar a en b és igual al d'operar b en a, l'operació és conmutativa.

De la mateixa manera podem dir que la llei de composició interna $\odot$, no és conmutativa en A si:

$\mathrm{\exists }a,b\in A:a\odot b\ne b\odot a$

Si existix algun a, b en A, que complix que el resultat d'operar a en b és distint d'operar b en a, l'operació no és conmutativa.

Eixemples

• L'adició en els conjunts N, Z, Q, R, C (1)dels naturals, sancers, racionals, reals i complexos és conmutativa i es complix que a+b = b+a, sent a i b elements de mateixa qualsevol conjunt indicat

• La multiplicació és conmutativa en qualsevol dels conjunts (1).

• La divisió en Q*, racionals sense el zero, no és conmutativa; puix a:b≠ b:a, salve per a 1 i -1.
• el producte de dos matrius quadrades d'orde n no és conmutativo.

• El producte cartesiano de dos conjunts no és conmutativo, AxB≠ BxA.

• L'unió, l'intersecció i la diferència simètrica de conjunts són conmutativas. Els conjunts es consideren com a parts del conjunt universal.
• Lo mateix que la conjunció i la disjunció de proposicions són conmutativas, dins de la llògica proposicional bivalente.

Anticonmutatividad

L'operació $\odot$ en A és anticonmutativa si:

$\mathrm{\forall }a,b\in A:a\odot b=-(b\odot a)$

Per a tot a, b de A, es complix que el resultat d'operar a en b és igual a l'opost d'operar b en a.

Eixemple 1

Com a eixemple si en 3-I l'espai de vectores de tres components, diem:

$𝐢=(1,0,0),𝐣=(0,1,0)y𝐤=(0,0,1)$

es té en el producte vectorial $\times$:

$𝐢\times 𝐣=𝐤$

i

$𝐣\times 𝐢=-𝐤$

en general, per a qualsevol parell de vectores a, b:

$𝐚\times 𝐛=-(𝐛\times 𝐚)$

Eixemple 2

Per als sancers , es veu que la substracció

$\begin{array}{cccc}-:& Z\times Z& ⟶& Z\\ & (a,b)& ⟼& c=a-b\end{array}$

és anticonmutativa, ya que:

$a-b=-(b-a)$

Asociatividad

Vore també: Propietat associativa

Siga A un conjunt no buit i $\odot$ una operació binaria en A, es diu que $(A,\odot )$ és associativa si, solament si:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in A:(a\odot b)\odot c=a\odot (b\odot c)$

Per a tot a, b, c de A es complix que operant a en b i el resultat en c és igual a operar a en el resultat d'operar b en c.

També es pot dir que l'operació $\odot$ no és associativa si es complix:

$\mathrm{\exists }a,b,c\in A:(a\odot b)\odot c\ne a\odot (b\odot c)$

Existixen a, b, c en A que complixen que operant a en b i el resultat en c és distint d'operar a en el resultat d'operar b en c.

Eixemples

• L'adició i la multiplicació en número par són associatives.
• La substracció en el conjunt Z dels sancers no és associativa
• L'adició en el conjunt Z[i] és associativa
• el producte vectorial de vectores en l'espai R3 no és associatiu; açò és: (uxv)xw ≠ ux(vxw), a on o,v i w són vectores i x indica el producte vectorial.
• Si en el conjunt R dels reals definim ab = ab +a+b +1, * és associatiu en R. (α)

Propietats de dos lleis de composició interna

Donat un conjunt A no buit i definides dos aplicació de A per A sobre A, a on a cada parell ordenat (a,b) se li assigna en l'operació $\odot$ un valor c de A i en l'operació $⊚$ el valor d de A que representem: $(A,\odot ,⊚)$.

$\begin{array}{cccc}\odot :& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a\odot b\end{array}\begin{array}{cccc}⊚:& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& d=a⊚b\end{array}$

Poden tindre les següents propietats:

Distributividad per l'esquerra

Vore també: Propietat distributiva

Donat un conjunt A no buit en el que s'han definits dos operacions internes, que expressarem $(A,\odot ,⊚)$, es diu que l'operació $\odot$ és distributiva per l'esquerra de $⊚$ si es complix:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in A:a\odot (b⊚c)=(a\odot b)⊚(a\odot c)$

Eixemples

Eixemples el producte vectorial de vectores respecte de la suma de vectores ux(v+ w) =uxv + uxw Un atre eixemple: el producte de matrius respecte a la suma de matrius. M(N+Q)= MN + MQ.

• És important l'orde de factor en la definició de R-mòduls a esquerra.

Distributiva per la dreta

De la mateixa manera es diu que l'operació $\odot$ és distributiva per la dreta de $⊚$ si es complix:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in A:(a⊚b)\odot c=(a\odot c)⊚(b\odot c)$

Eixemples

• Eixemple el cas del producte de matrius que no és conmutativo. Es té (M+N)P= MP+ NP, la simple yuxtaposició indica el producte de matrius.
• La composició de funcions reals en un interval tancat respecte de la suma de funcions: (f +g)ºh =fºh + gºh , a on f,g, h són funcions qualssevol del cas senyalat.

Operació distributiva

Una operació $\odot$ és distributiva sobre una atra $⊚$ si és distributiva per la dreta i per l'esquerra.

Eixemples

• Els conjunts numèrics gogen de la distributividad per abdós costats.
• En definir un anell s'indiquen les dos formes distributivas

a(b+c) = ab +ac, per l'esquerra; i per la dreta, (b+ c)a = ba +ca. Puix, al semigrupo multiplicativo no s'exigix la conmutatividad.

• Vore si es complix a*(b+ c) = b + ac sent * l'operació definida en (α) i , + la suma usual en R.
• La multiplicació en un conjunt numèric ( per ejm. ℕ) respecte a la potenciació és distributiva per la dreta: $(ab{)}^n=a^n{b}^n$
• L'adició de funcions derivables és distributiva respecte a la derivació de funcions: D_x (f + g) = D_xf + D_xg
• La suma de funcions integrables és distributiva respecte de l'integració. I( f+g) = If + Ig. A on I = integral; f i g , funcions integrables.

Vore també

• Operació (matemàtica)
• Operació binaria
• Llei de composició
• Estructura algebraica