Taula de multiplicar

Archiu:A treatise of arithmetic Fleuron T051624-1.png

Taula de multiplicar

Archiu:Multiplication table to scale.svg

Taula de multiplicar de l'1 al 10 dibuixada a escala en la mitat superior dreta etiquetada en factorización de cosins.

Les taules de multiplicar s'usen per a definir la relació del producte entre dos números, segons les regles de l'aritmètica. Segons la correspondència matemàtica:

$\begin{array}{cccc}\ast :& \mathbb{N}\times \mathbb{N}& ⟶& \mathbb{N}\\ & (a,b)& ⟼& c=a\ast b\end{array}$

de modo que a cada parell ordenat (a,b) de número natural se li associa un tercer natural c, que és el producte dels dos primers.

Les taules de multiplicar es deprenen en els coleges per mig de la memorisació dels productes d'un número entre 1 i 10 pels successius números entre 0 i 10.

Coneguda esta taula i pel Algoritme de multiplicació, es poden realisar multiplicacions de qualsevol número de sifres, inclús encara que estes sifres tinguen part decimal.

La taula de multiplicar decimal s'ensenyava tradicionalment com a part essencial de l'aritmètica elemental en tot lo món, ya que senta les bases per a les operacions aritmètiques en números de base dèu. Molts educadors creuen que és necessari memorisar la taula fins a 9 × 9.

Història

Época premoderna

Archiu:Qinghuajian, Suan Biao.jpg

Tsinghua Bamboo Slips, Chinenca taula de multiplicació decimal 305 a. C.

Les taules de multiplicar més antigues que es coneixen varen ser utilisades pels babilonios fa uns 4000 anys. No obstant, utilisaven una base de 60. Les taules més antigues conegudes que utilisen una base de 10 són les chinenques taula de multiplicació decimal en tires de bambú que daten d'al voltant del 305 a. C., durant el periodo dels Estats Combatents de China.

Archiu:Caps block 4 caps block 5 caps block 6 Table of pythagoras on slats.jpg

"Taula de Pitágoras" en ossos de Napier

La taula de multiplicar s'atribuïx a voltes a l'antic matemàtic grec Pitágoras (570-495 a. C.). També es diu la Taula de Pitágoras en molts idiomes (per eixemple, francés, italià i rus), a voltes en anglés. El matemàtic grecorromano Nicómaco (60-120  d. C.), seguidor del neopitagorismo, va incloure una taula de multiplicar en la seua Introducció a l'aritmètica, mentres que la taula de multiplicar més antiga que es conserva de les gregues es troba en una tablilla de cera datada en el I i que actualment es conserva en el Museu Britànic.

En 493 d. C., Victorio d'Aquitània va escriure una taula de multiplicar de 98 columnes que donava (en números romans) el producte de cada número de 2 a 50 voltes i les files eren "una llista de números escomençant per mil, descendint per centenes fins a cent, després descendint per decenes fins a dèu, després per unitats fins a un, i després les fraccions fins a 1/144."

Época moderna

En el seu llibre de 1820 La filosofia de l'aritmètica, el matemàtic John Leslie va publicar una taula de multiplicar fins a 99 × 99, que permet multiplicar números de dos en dos. Leslie també recomanava que els alumnes memorisaren la taula de multiplicar fins a 50 × 50.

La següent ilustració mostra una taula de fins a 12 × 12, que és un tamany que s'utilisa habitualment hui en dia en les escoles del món anglosaxó.

×	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
10	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
11	0	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132
12	0	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144

En China, no obstant, com la multiplicació d'número entero és conmutativa, moltes escoles utilisen una taula més chicoteta com la següent. Algunes escoles inclús eliminen la primera columna, ya que 1 és l'identitat multiplicativa.

1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	45	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9

l'aprenentage memorístic tradicional de la multiplicació es basava en la memorisació de les columnes de la taula, d'una forma com

   1 × 10 = 10
   2 × 10 = 20
   3 × 10 = 30
   4 × 10 = 40
   5 × 10 = 50
   6 × 10 = 60
   7 × 10 = 70
   8 × 10 = 80
   9 × 10 = 90

Esta forma d'escriure la taula de multiplicar en columnes en frases numèriques completes.

Taules de multiplicar

La forma tradicional de representar la taula de multiplicar per a la seua memorisació o repàs, com el seu propi nom indica és en forma de taula. En elles es multiplica, de l'un al dèu o del zero al dèu, el número al que correspon cada taula.

$\begin{array}{c}tablademultiplicar\\ \\ \begin{array}{ccc}\begin{array}{c}tabladel1\\ \begin{array}{ccccc}1& \times & 0& =& 0\\ 1& \times & 1& =& 1\\ 1& \times & 2& =& 2\\ 1& \times & 3& =& 3\\ 1& \times & 4& =& 4\\ 1& \times & 5& =& 5\\ 1& \times & 6& =& 6\\ 1& \times & 7& =& 7\\ 1& \times & 8& =& 8\\ 1& \times & 9& =& 9\\ 1& \times & 10& =& 10\end{array}\end{array}& \begin{array}{c}tabladel2\\ \begin{array}{ccccc}2& \times & 0& =& 0\\ 2& \times & 1& =& 2\\ 2& \times & 2& =& 4\\ 2& \times & 3& =& 6\\ 2& \times & 4& =& 8\\ 2& \times & 5& =& 10\\ 2& \times & 6& =& 12\\ 2& \times & 7& =& 14\\ 2& \times & 8& =& 16\\ 2& \times & 9& =& 18\\ 2& \times & 10& =& 20\end{array}\end{array}& \begin{array}{c}tabladel3\\ \begin{array}{ccccc}3& \times & 0& =& 0\\ 3& \times & 1& =& 3\\ 3& \times & 2& =& 6\\ 3& \times & 3& =& 9\\ 3& \times & 4& =& 12\\ 3& \times & 5& =& 15\\ 3& \times & 6& =& 18\\ 3& \times & 7& =& 21\\ 3& \times & 8& =& 24\\ 3& \times & 9& =& 27\\ 3& \times & 10& =& 30\end{array}\end{array}\\ \\ \begin{array}{c}tabladel4\\ \begin{array}{ccccc}4& \times & 0& =& 0\\ 4& \times & 1& =& 4\\ 4& \times & 2& =& 8\\ 4& \times & 3& =& 12\\ 4& \times & 4& =& 16\\ 4& \times & 5& =& 20\\ 4& \times & 6& =& 24\\ 4& \times & 7& =& 28\\ 4& \times & 8& =& 32\\ 4& \times & 9& =& 36\\ 4& \times & 10& =& 40\end{array}\end{array}& \begin{array}{c}tabladel5\\ \begin{array}{ccccc}5& \times & 0& =& 0\\ 5& \times & 1& =& 5\\ 5& \times & 2& =& 10\\ 5& \times & 3& =& 15\\ 5& \times & 4& =& 20\\ 5& \times & 5& =& 25\\ 5& \times & 6& =& 30\\ 5& \times & 7& =& 35\\ 5& \times & 8& =& 40\\ 5& \times & 9& =& 45\\ 5& \times & 10& =& 50\end{array}\end{array}& \begin{array}{c}tabladel6\\ \begin{array}{ccccc}6& \times & 0& =& 0\\ 6& \times & 1& =& 6\\ 6& \times & 2& =& 12\\ 6& \times & 3& =& 18\\ 6& \times & 4& =& 24\\ 6& \times & 5& =& 30\\ 6& \times & 6& =& 36\\ 6& \times & 7& =& 42\\ 6& \times & 8& =& 48\\ 6& \times & 9& =& 54\\ 6& \times & 10& =& 60\end{array}\end{array}\\ \\ \begin{array}{c}tabladel7\\ \begin{array}{ccccc}7& \times & 0& =& 0\\ 7& \times & 1& =& 7\\ 7& \times & 2& =& 14\\ 7& \times & 3& =& 21\\ 7& \times & 4& =& 28\\ 7& \times & 5& =& 35\\ 7& \times & 6& =& 42\\ 7& \times & 7& =& 49\\ 7& \times & 8& =& 56\\ 7& \times & 9& =& 63\\ 7& \times & 10& =& 70\end{array}\end{array}& \begin{array}{c}tabladel8\\ \begin{array}{ccccc}8& \times & 0& =& 0\\ 8& \times & 1& =& 8\\ 8& \times & 2& =& 16\\ 8& \times & 3& =& 24\\ 8& \times & 4& =& 32\\ 8& \times & 5& =& 40\\ 8& \times & 6& =& 48\\ 8& \times & 7& =& 56\\ 8& \times & 8& =& 64\\ 8& \times & 9& =& 72\\ 8& \times & 10& =& 80\end{array}\end{array}& \begin{array}{c}tabladel9\\ \begin{array}{ccccc}9& \times & 0& =& 0\\ 9& \times & 1& =& 9\\ 9& \times & 2& =& 18\\ 9& \times & 3& =& 27\\ 9& \times & 4& =& 36\\ 9& \times & 5& =& 45\\ 9& \times & 6& =& 54\\ 9& \times & 7& =& 63\\ 9& \times & 8& =& 72\\ 9& \times & 9& =& 81\\ 9& \times & 10& =& 90\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$

La taula de multiplicar per coordenades de la taula pitagórico

Archiu:Tabla de muitiplicar 11.svg

Una atra forma de representar la taula de multiplicar, és la denominada taula pitagórico (denominada aixina en honor de Pitágoras), composta per coordenades cartesianas (denominades aixina en honor de Descartes). La primera fila i la primera columna contenen els números que es van a multiplicar (habitualment, els número entero fins al 10), i en l'intersecció de cada fila i cada columna està el producte del número de la seua fila pel número de la seua columna.

Esta representació de la taula de multiplicar és més compacta que la Nova , i permet vore algunes propietats de la multiplicació, la propietat conmutativa, l'orde dels factors no altera el producte, per eixemple el 5·3 és igual a 3·5, açò fa que este quadro siga una matriu simètrica, els valors situats a un costat atre de la diagonal que unix l'1 i el 100, són iguals.

Esta simetria es pot vore també en comprovar que les files i les columnes d'un mateix número són iguals, si veem la fila del tres, presenta la seqüència: 3, 6, 9, 12..., i si mirem la columna del tres tenim la mateixa seqüència 3, 6, 9..., és dir, si canviem les files per les columnes la taula no varia, açò es deu a la propietat conmutativa de la multiplicació.

La diagonal principal, arreplega els quadrats dels números, en esta diagonal la fila és igual a la columna, per lo que tenim que:

$a\cdot a=a^2$

La distribució dels números a un costat i un atre d'esta diagonal també és simètrica segons nos alluntem d'ella.

Atres taules de multiplicar

Archiu:Abaco de Napier (tablero y varillas).png

Àbac neperiano.

Per a eixercitar el càlcul mental, alguns deprenen les taules de multiplicar de números superiors a 10.

En l'antic Egipte s'utilisava el método de multiplicació per duplicació, que no requerix l'aprenentage de taules de multiplicar, solament es necessitava saber sumar per a obtindre el resultat de multiplicacions i divisions.

En l'antiga Babilonia, s'amprava un sistema sexagesimal. S'ampraven profusamente tablillas en el producte d'un determinat número, no necessàriament sancer, per 2,3,4..., fins a 60.

També s'ampren taules de multiplicar en matemàtiques més alvançades, per a definir operacions binarias en sistemes algebraics com grups, cos i anells. Per a un eixemple, vore octoniones.

Una atra alternativa són les taules de multiplicar aprofitant simetria que només necessita memorisar unes poques sifres i unes poques posicions.

Actualment existixen métodos matemàtics sintetisats que permeten deprendre les taules de multiplicar d'una forma més senzilla i amigable per a l'estudiant. D'esta manera es reduïxen el número de valors a memorisar, de 80 a 20, lo que facilita l'agilitat en l'aprenentage passant en poc temps al reforç.

Vore també

• Multiplicació
• Algoritme de multiplicació
• Multiplicació per duplicació
• Algoritme de Booth
• Operacions en polinomis

Enllaços externs

• Taules de Multiplicar de l'1 al 100
• Jocs de Taules de Multiplicar [1] archivat en Wayback Machine.
• Taules de multiplicar

Ta-reblir/ ablas de multiplicar per a reblir

• Taules de multiplicar per temps
• Taules de Multiplicar per a Imprimir
• Noves taules de multiplicar
• aplicació android per a deprendre les taules
• a-recordar-la-taula-del-9/ Vídeo en truc per a recordar fàcilment la taula del 9 a-recordar-la-taula-del-9/ archivat en Wayback Machine.