Càlcul mental

Archiu:Mental calculation at primary school.jpg

Càlcul mental

Càlcul mental. En l'escola pública S. A. Rachinski, quadro de Nikolái Bogdanov-Belski de 1895 en el que uns chiquets tracten de calcular mentalment el resultat de l'expressió en la pissarra,

\frac{1 0^{2} + 1 1^{2} + 1 2^{2} + 1 3^{2} + 1 4^{2}}{365}

.

El càlcul mental consistix en realisar càlculs matemàtics utilisant solament el cervell, sense ajudes d'atres instruments com calculadoras o inclús llapis i paper o els dits per a contar fàcilment. El càlcul mental a sovint implica l'us de tècniques específiques dissenyades per a tipos particulars de problemes.^[1]

Les persones en una capacitat inusualment alta per a realisar càlculs mentals es denominen calculistas mentals. Alguns calculistas poden realisar operacions matemàtiques molt complexes (com a productes de números de 5 o més sifres) per mig del càlcul mental. No obstant, els millors matemàtics moltes voltes no coincidixen en els millors calculistas.^[2] Igualment, els grans calculistas no són els de millor memòria,^[2] ya que les tècniques del càlcul mental i les de potenciació de la memòria són diferents. Els campeons del món i els que figuren el llibre Guiness dels récorts d'abdós especialitats (càlcul i memòria) solen ser sempre diferents.

Archiu:Recursos de apoyo al calculo mental.png

Recursos de respal

La pràctica del càlcul mental implica posar en joc diverses estratègies. Entre els seus beneficis es troben: desenroll del sentit numèric i d'habilitats intelectuals com l'atenció i la concentració, ademés de gust per les matemàtiques. La seua ensenyança és obligatòria en la majoria dels sistemes d'educació.^{cita requerida}^[3]

Estratègies

Sumes i restes

Si no hi ha carreges, és dir, si cap suma parcial és major que 9, les sumes es poden realisar directament. Lo mateixa ocorre en les restes.

En cas contrari, cal saber modelar els números dels que es dispon, a voltes convertint una suma de dos números en una suma més senzilla de més sumants, i alguna cosa anàlec para les restes. Calculistas com Alberto Vedat i Jorge Arturo Mendoza Hortes proponen realisar les sumes sempre d'esquerra a dreta, encara que hi haja acarreos.

Eixemples:

Calcular 456 + 155:

456 + 155 = 461 + 150 = 511 + 100 = 611 (método tradicional, sumant de dreta a esquerra)

455 + 5 + 151 = 460 + 40 + 111 = 500 + 111 = 611 (duent el primer sumant a la decena superior, a la centena superior... per a acabar realisant una suma més senzilla equivalent a la primera)

456 + 155 = 556 + 55 = 606 + 5 = 611 (sumant d'esquerra a dreta)

Calcular 876 - 98:

876 - 98 = 868 - 90 = 778 (método tradicional, de dreta a esquerra)

876 - 98 = 876 - (100 - 2) = 876-100 + 2 = 776 + 2 = 778 (valent-se de la proximitat del substraent (98) a un que facilita la resta (100))

876 - 98 = 786 - 8 = 778 (restant d'esquerra a dreta)

Calcular 634-256:

634-256 = 434 - 56 = 384 - 6 = 378 (d'esquerra a dreta)

Archiu:A treatise of arithmetic Fleuron caps block 9 .png

Taules de multiplicar

Multiplicacions i divisions

Duplicació i mediació

Artícul principal → Duplicació.

Multiplicar per 2 és lo mateix que sumar-li al número inicial el mateix número. La duplicació i la mediació són un pilar fonamental de les matemàtiques egipcíaques.

Eixemple: multiplicar 173 × 16:

Açò es pot fer per duplicació successives: 173 × 16 = 346 × 8 = 692 × 4 = 1384 × 2 = 2768.

La multiplicació i la mediació servixen, en general, per a calcular el producte d'un número qualsevol pel producte de potències de 2 i de 5. Multiplicar per 5 és lo mateix que calcular la mitat del número inicial multiplicat per 10, lo que a voltes és més fàcil de trobar

Eixemple: multiplicar 376 × 125

Com 125 = 5³ = 10³/2³, es pot trobar la solució afegint els tres zeros corresponents i dividint el resultat tres voltes per 2.

376 × 125 = 376000/8 = 188000/4 = 94000/2 = 47000.

324 x 125 = 324000/8 = 162000/4 = 81000/2 = 40500.

És útil conéixer algunes potències de 2 i 5 per a realisar estes operacions en soltura.

També es pot utilisar este método per a multiplicar per atres números que són sumes de (poques) potències de 2 o de 5, com 12 (8 + 4), 130 (125 + 5), 18 (16 + 2), etc.

Multiplicació per números propencs a les potències de 10

Multiplicar per 9, 11, 99, 101..., és dir, per una potència de 10 menys 1 (o més 1), es pot fer mentalment en una miqueta de pràctica per mig de la suma (o resta) de 10ⁿ voltes el número inicial més (o resta) del número inicial. No obstant, és fàcil cometre errors en sumar o restar en mesclar, per eixemple, unitats en decenes.

Eixemple: multiplicar 28 × 99

28 × 99 = 28 × (100 - 1) = 2800 - 28 = 2772

Un atre eixemple: multiplicar 37 × 121

121 és el quadrat d'11, aixina que lo que es demana és lo mateix que multiplicar 37 per 11 i el resultat de nou per 11: 37 × 121 = 37 ×(10 + 1) × 11 = (370 + 37) × 11 = 407 × 11 = 4477

Ademés multiplicar per 11 resulta fàcil: se separen les sifres i després s'escriu sempre sifra de les unitats i seguidament es van sumant grups de dos sifres seguides posant el resultat o l'última sifra de la suma duent un carrege d'1 si la suma és major que 10, i finalment es coloca la sifra més significativa, aixina:

Multiplicar:

12345 × 11 : 1° les uniu 5, 5+4=9, 4+3=7, 3+2=5,2+1=3, i finalment 1; ara colocar en orde invers : 135795

8946 × 11 : 1° les uniu 6, 6+4=10 (0 i du 1), 4+9+1(carrege)=14 (4 i du 1), 9+8+1(carrege)=18 (8 i du 1), i finalment 8+1(carrege)=9; ara colocar en orde invers : 98406

Análogamente, es pot aplicar açò a les multiplicacions per potències de 2, o de 5, més 1. Per eixemple, 26, 17, 124 i 63.

Multiplicació per 37

Primer, basta recordar lo següent:

37 × 3 = 111
37 × 27 = (37 × 3) × 9 = 999 = 1000 - 1

El procediment és est:

Es dividix l'atre factor entre 3. Cal recordar el cocient i el restant. Si el restant és 1, al resultat final caldrà sumar 37; si és 2, caldrà sumar 74.
Eixemple: en 37 × 94, es pren 94 : 3 = 31, restant 1. Ara el producte és 111 × 31.
Es dividix el cocient del pas anterior entre 9. El cocient es multiplica per 999 (= 1000 - 1) i el restant per 111.
En l'eixemple anterior, 31 : 9 = 3, restant 4. Ara tenim la suma de dos productes: 999 × 3 (= 2997, o, si es preferix, 3000 - 3) i 111 × 4 = 444. Com el restant del primer cocient que vàrem fer era 1, al resultat caldrà sumar 37.
Se sumixca tot.
3000 - 3 + 444 + 37 = 3000 + 444 + 37 - 3 (a sovint és més fàcil organisar els térmens d'esta forma, deixant el número que es resta al final) = 3444 + 34 = 3478.

Una variant és prendre per excés i no per defecte el cocient de la divisió del primer pas. Açò significa que se sumixca un al cocient i al restant se li resten 3. Aixina, en lloc d'un número de la forma 3 × Q + R (a on R = 1 o 2) tenim un de la forma 3 × (Q + 1) + R' (a on R' = -2 o -1, respectivament), i al resultat final se li restarà 74 o 37 (perque el nou "restant" de la divisió és negatiu).

Més eixemples:

37 × 54 = 111 × 18 = 999 × 2 = 2000 - 2 = 1998

37 × 79 (método usual) = 111 × 26 + 37 = 999 × 2 + 111 × 8 + 37 = 2000 - 2 + 888 + 37 = 2925 - 2 = 2923

37 × 79 (variant) = 111 × 27 - 74 = 999 × 3 - 74 = 3000 - 3 - 74 = 3000 - 77 = 2923

Com es pot comprovar, en este cas la variant és més fàcil, encara que no té per qué ser sempre aixina. En general, si el factor és un o dos menys que un múltiple de 27 (recordar que 37 × 27Q = 999Q), és més senzill anar a per eixe múltiple de 27.

Si un dels factors del producte no és 37 pero sí un múltiple, es pot reformular la multiplicació fent que un dels factors siga 37. Provem per eixemple en els següents quadrats:

74 × 74 = 37 × 2 × 74 = 37 × 148 = 111 × 49 + 37 = 999 × 5 + 111 × 4 + 37 = 5000 - 5 + 444 + 37 = 5444 + 32 = 5476

111 × 111 = 37 × 3 × 111 = 37 × 333 = 999 × 12 + 333 = 12000 - 12 + 333 = 12321 (en este cas, com ya teníem el 333, el procediment era més senzill)

148 × 148 = 37 × 4 × 148 = 37 × 592 = 111 × 198 - 74 (en este cas es torna a amprar la variant perque 594 és múltiple de 27) = 999 × 22 - 74 = 22000 - 22 - 74 = 21904

Métodos aixina funcionen quan un dels factors de la multiplicació té a la seua volta un múltiple que és una concatenació de nueves. Es tracta puix de trobar eixe múltiple. Un atre eixemple notable és el número 142857. No solament el producte d'este número per 7 és igual a 999999, sino que la seua taula de multiplicar és molt senzilla, ya que en la cadena 142857142857... n'hi ha prou en prendre sis dígits consecutius a partir d'una posició donada:

142857 × 1 = 142857

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142

Provem a calcular el quadrat d'este número de sis sifres (!):

142857 × 142857 = (142857 × 7) × (142857 : 7) = 999999 × 20408 + 142857 (Com el restant de 142857 : 7 dona 1, al resultat de la multiplicació cal sumar-li 142857. És lo mateix que es feya en la multiplicació per 37) = (1.000.000 - 1) × 20.408 + 128.857 = 20.408.000.000 - 20.408 + 142857 = 20.408.000.000 + 122.449 = 20.408.122.449

Igualtats notables i càlcul de quadrats

Les cridades igualtats notables poden aplicar-se al càlcul mental:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b) (a - b) = a² - b²

Càlcul del quadrat d'un número qualsevol de dos sifres

Les dos primeres identitats es poden aplicar al càlcul de quadrats perfectes. Supongam que volem calcular 52². 52 = 50 + 2, aixina que apliquem l'identitat corresponent al quadrat de la suma, a on a = 50 i b = 2.

(50 + 2)² = 50² + 2 × 2 × 50 + 2² = 2500 + 200 + 4 = 2704

Més eixemples:

17² = (10 + 7)² = 10² + 2 × 7 × 10 + 7² = 100 + 140 + 49 = 289

76² = (70 + 6)² = 70² + 2 × 6 × 70 + 6² = 4900 + 840 + 36 = 5776

95² = (90 + 5)² = 90² + 2 × 5 × 90 + 5² = 8100 + 900 + 25 = 9025

En este método també és fàcil calcular el quadrat d'un número en una sifra sancera i una decimal, solament cal acordar-se del lloc que ocupa cada sifra:

2,4² = (2 + 0,4)² = 0,1² × 24² = 0,01 × (20² + 2 × 4 × 20 + 4²) = 0,01 × (400 + 160 + 16) = 0,01 × 576 = 5,76

Algoritme per a elevar al quadrat un número de dos sifres que escomença en 4: (4*10+o)^2 = (15+o) || (10-o)^2 (a on || indica concatenació matemàtica o unió de sifres) Eixemple: Per a 47^2 tenim (15+7)=22 i (10-7)^2 = 09 i aixina 47^2 =2209, i ademés 47^2= 40x40 + 40x7x2 + 7x7 = 1600 + 560 + 49 = 2209.

Algoritme idem, per als que escomença en 5.- (5*10+o)^2 =(25+o) || o^2; Eixemple: per a 53^2 tenim (25+3)=28 i 3^2 =09 per la qual cosa 53^2=2809

Algoritme idem, per als que escomencen en 9.- (9*10+o)^2= (80+2o)||(10-o)^2; Eixemple: per a 96^2 tenim (80+2*6)=92 i(10-6)^2= 16 aixina 96^2= 9216

Algoritme idem, per als de tres sifres que escomença en 10.- (10*10+o)^2= (100+2o)|| o^2; Eixemple 108^2= (100+2*8)=116 i8^2 =64, per lo que 108^2=11664

Alguns calculistas coneixen de memòria les taules de multiplicar de l'1 al 100, per lo que poden utilisar este método fàcilment per a trobar el quadrat d'un número de quatre sifres o més. Açò solament es conseguix despuix de molt entrenament, pero simplifica enormement el càlcul com es pot observar: 5782² = (5700 + 82)² = 5700² + 2 × 82 × 5700 + 82² = 32.490.000 + 934.800 + 6724 = 33.431.524

Producte de dos números equidistants d'un número que el seu quadrat és conegut

El número que el seu quadrat és conegut generalment serà un acabament en 0. Per eixemple, a l'hora de calcular 58 × 62 nos recolzarem en el 60, ya que abdós estan a la mateixa distància (2 unitats) de 60. Ací es pot utilisar la tercera identitat, la del producte de suma per diferència, a on a = 60 i b = 2.

(60 + 2) (60 - 2) = 60² - 2² = 3600 - 4 = 3596

Més eixemples:

77 × 83 = (80 - 3) (80 + 3) = 6400-9= 6391

95 × 105 = (100 - 5) (100 + 5) = 10000-25= 9975

128 × 152 = (140 - 12) (140 + 12) = 19600-144= 19456

Quadrat d'un número acabat en 5

El càlcul del quadrat d'un número que acabe en 5 pot simplificar-se utilisant la tercera identitat. Ací a serà el número inicial (per eixemple, 65), i b = 5:

(a + 5) (a - 5) = a² - 25

Per tant, es té que:

(a + 5) (a - 5) + 25 = a²

Si a = 65, el resultat és el següent:

65² = 70 × 60 + 25 = 4200 + 25 = 4225.

Més eixemples:

35 × 35 = 40 × 30 + 25 = 1225

105 × 105 = 110 × 100 + 25 = 11025

255 × 255 = 260 × 250 + 25 = 65025

En este últim cas, per a calcular 260 × 250 es pot optar per formular-ho d'esta manera: 260 × 250 = (250 + 10) × 250 = 250² + 2500, i ya sabem calcular en facilitat 250², aixina, quedaria 62500 + 2500 + 25 = 65025.

Una atra versió per a calcular (a5)^2 per a qualsevol valor des calcule a(a+1) que és oblongo i es concatene en 25. Per eixemple: 45^2 exigix calcular 4*5=20 i concatenar-ho en 25 aixina 45^2=2025 (1005)^2 exigix calcular 100*101= 10100 i concatenar-ho en 25 aixina 105^2=1010025

Gavetes i potències superiors

El càlcul de gavetes i potències superiors per mig de l'us d'igualtats notables és progressivament més difícil, i a sovint és més senzill trobar la quarta potència d'un número com el quadrat del seu quadrat:

95⁴ = (95²)² = 9025² = (9000 + 25)² = 9000² + 2 × 25 × 9000 + 25² = 81.000.000 + 450.000 + 625 = 81.450.625 (Facilita molt el càlcul el fet de que la segona sifra de 9025 siga un zero)

Raïls

Aproximació de raïls quadrades

Una manera fàcil d'aproximar la raïl quadrada d'un número és usar la següent equació:

raíz ≃ raíz cuadrada conocida - \frac{cuadrado conocido - cuadrado desconocido}{2 \times raíz cuadrada conocida}

Quant més prop estiga el Quadrat conegut de lo desconegut, més precisa serà l'aproximació. Per eixemple, per a estimar la raïl quadrada de 15, un podria començar en el coneiximent de que el quadrat perfecte més propenc és 16 (4²).

\begin{matrix} raíz & ≃ 4 - \frac{16 - 15}{2 \times 4} \\ ≃ 4 - 0.125 \\ ≃ 3.875 \end{matrix}

Llavors, la raïl quadrada estimada de 15 és 3.875. La raïl quadrada real de 15 és 3.872983... Una cosa a tindre en conte és que, sense importar quin va ser la suposició original, la resposta estimada sempre serà major que la resposta real per la desigualtat de les miges aritmètica i geomètrica. Per lo tant, es deuria intentar redonejar la resposta estimada cap a avall.

Tinga's en conte que si n² és el quadrat perfecte més propenc al número de partida x i d = x - n² és la seua diferència, és més convenient per a expressar esta aproximació en forma de fracció mixta com $n \frac{d}{2 n}$ . Aixina, en l'eixemple anterior, la raïl quadrada de 15 és $4 \frac{- 1}{8} .$ . Com un atre eixemple, la raïl quadrada de 41 és $6 \frac{5}{12} = 6.416$ mentres que el valor real és 6.4031...

Demostració

Per definició, si r és la raïl quadrada de x, llavors

r^{2} = x

Despuix es redefinix la raïl

r = a - b

a on a és una raïl coneguda (4 de l'eixemple anterior) i b és la diferència entre la raïl coneguda i la resposta que es busca.

(a - b)^{2} = x

Expandint la fòrmula anterior

a^{2} - 2 a b + b^{2} = x

Si 'a' està prop del número buscat, 'b' serà un número lo suficientment chicotet com per a que l'element $+ b^{2}$ de l'equació siga insignificant. Per lo tant, es pot eliminar $+ b^{2}$ i reorganisar l'equació per a que

b ≃ \frac{a^{2} - x}{2 a}

i per lo tant

raíz ≃ a - \frac{a^{2} - x}{2 a}

que es pot reduir a

raíz ≃ \frac{a^{2} + x}{2 a}

Extracció de raïls de potències sanceres

Vore també: Raïl 13

A sovint es practica l'extracció de raïls de potències sanceres. La dificultat de la tasca no depén tant del número de dígits de la potència sancera, com de la precisió, és dir, del número de dígits de la raïl. Ademés, també depén de l'orde de la raïl; trobar raïls exactes, a on l'orde de la raïl és un número coprimo respecte a 10 és alguna cosa més fàcil, ya que els dígits es distribuïxen de manera consistent, com es mostra en la següent secció.

Extracció de raïls cúbiques

Una tasca fàcil per al principiante és extraure raïls cúbiques de les gavetes de números de 2 dígits. Per eixemple, dau 74088, determinar qué número de dos dígits, quan es multiplica per sí mateixa una volta i després es torna a multiplicar una atra volta, dona 74088. Qui conega el método sabrà ràpidament que la resposta és 42, ya que 42³ = 74088.

Abans de deprendre el procediment, es requerix que el ejecutante memorise les gavetes dels números de l'1 al 10:

1³ = 1	2³ = 8	3³ = 27	4³ = 64	5³ = 125
6³ = 216	7³ = 343	8³ = 512	9³ = 729	10³ = 1000

Observe's que hi ha un patró en el dígit més a la dreta: sumar i restar en 1 o 3. Escomençant des de zero:

0³ = 0
1³ = 1 (ha pujat 1 des de 0)
2³ = 8 (ha baixat 3 des d'11)
3³ = 27 (ha baixat 1 des de 8)
4³ = 64 (ha baixat 3 des de 7)
5³ = 125 (ha pujat 1 des de 4)
6³ = 216 (ha pujat 1 des de 5)
7³ = 343 (ha baixat 3 des de 6)
8³ = 512 (ha baixat 1 des de 3)
9³ = 729 (ha baixat 3 des de 12)
10³ = 1000 (ha pujat 1 des de 9)

Hi ha dos passos per a extraure la raïl cúbica de la gaveta d'un número de dos dígits. Per eixemple, per a extraure la raïl cúbica de 29791, en primer lloc es determina el lloc de les unitats del número de dos dígits. Com la gaveta termina en 1, com es veu dalt, deu ser 1.

Si la gaveta perfecta termina en 0, la seua raïl cúbica deu terminar en 0.
Si la gaveta perfecta termina en 1, la seua raïl cúbica deu terminar en 1.
Si la gaveta perfecta termina en 2, la seua raïl cúbica deu terminar en 8.
Si la gaveta perfecta termina en 3, la seua raïl cúbica deu terminar en 7.
Si la gaveta perfecta termina en 4, la seua raïl cúbica deu terminar en 4.
Si la gaveta perfecta termina en 5, la seua raïl cúbica deu terminar en 5.
Si la gaveta perfecta termina en 6, la seua raïl cúbica deu terminar en 6.
Si la gaveta perfecta termina en 7, la seua raïl cúbica deu terminar en 3.
Si la gaveta perfecta termina en 8, la seua raïl cúbica deu terminar en 2.
Si la gaveta perfecta termina en 9, la seua raïl cúbica deu terminar en 9.

Tinga's en conte que cada dígit es correspon a sí mateixa llevat 2, 3, 7 i 8, que simplement es resten de dèu per a obtindre el dígit corresponent.

El segon pas és determinar el primer dígit de la raïl cúbica de dos dígits observant la magnitut de la gaveta donada. Per a fer açò, es lleven els últims tres dígits de la gaveta donada (29791 → 29) i es busca la gaveta més gran que és major (ací és a on es necessita conéixer les gavetes dels números de l'1 al 10). Ací, 29 és major que 1 a la gaveta, major que 2 a la gaveta, major que 3 a la gaveta, pero no major que 4 a la gaveta. La primera gaveta més gran és major que 3, per lo que el primer dígit de la gaveta de dos dígits deu ser 3.

Per lo tant, la raïl cúbica de 29791 és 31.

Un atre eixemple:

Trobar la raïl cúbica de 456533.
La raïl cúbica termina en 7.
Despuix de llevar els últims tres dígits, queda 456.
456 és major que totes les gavetes fins a 7 a la gaveta.
El primer dígit de la raïl cúbica és 7.
La raïl cúbica de 456533 és 77.

Este procés pot estendre's per a trobar raïls cúbiques de 3 dígits de llongitut per mig del mòdul aritmètic 11.^[4]

Este tipo de trucs es poden utilisar en qualsevol raïl a on l'orde de la raïl siga coprimo sobre 10; per lo tant, no funciona en la raïl quadrada, ya que l'índex de la potència, 2, és un divisor de 10. En canvi, 3 no és divisor de 10, per lo que el método es pot aplicar a les raïls cúbiques.

Càlcul de logaritmos (en base 10)

Per a aproximar el logaritmo comú o en base 10 en una o dos sifres significatives, es requerix conéixer algunes propietats dels logaritmos i la memorisació d'alguns logaritmos. En particular, és necessari saber lo següent:

log(ab) = log(a) + log(b)
log(a : b) = log(a) - log(b)
log(0) si existix
log(1) = 0
log(2) 0,33
log(3) 0,48
log(7) 0,85
log(10) = 1
Si a > b, forçosament log(a) > log (b). En llenguage matemàtic, es diu que la funció logaritmo és creixent.

A partir d'esta informació, es pot calcular el logaritmo de qualsevol número de l'1 al 9:

log(1) = 0
log(2) 0,30
log(3) 0,48
log(4) = log(2 × 2) = log(2) + log(2) 0,60
log(5) = log(10 : 2) = log(10) - log(2) 0,70
log(6) = log(2 × 3) = log(2) + log(3) 0,78
log(7) 0,85
log(8) = log(2 × 2 × 2) = log(2) + log(2) + log(2) 0,90
log(9) = log(3 × 3) = log(3) + log(3) 0,96 (en realitat, s'acosta més a 0,95)
log(10) = 1

El primer pas per a aproximar el logaritmo comú d'un número és expressar dit número en la notació científica. Per eixemple, el número 45 en notació científica és 4,5 × 10¹. En general, tindrem un número de la forma a × 10^b, a on a és un número entre 1 i 10. El segon pas és utilisar lo que es diu interpolació llineal per a estimar el logaritmo que vullgam calcular a partir de dos ya coneguts. En l'eixemple del 45 (= 4,5 × 10), es partix de que log(4) 0,60 i log(5) 0,70, i com 4,5 està a mig camí entre 4 i 5, log(4,5) estarà aproximadament a mig camí entre log(4) i log(5), per tant, serà aproximadament 0,65. En realitat, el resultat correcte sempre és llaugerament major de lo esperat, de fet, log(4,5) = 0,6532125... El tercer i últim pas, una volta obtingut log(a), és sumar-li b per a obtindre el logaritmo desijat. En este cas, com log(4,5) 0,65, basta afegir 1 per a obtindre log(45) 1,65. El valor real és log(45) 1,6532125...

El mateix procés es pot amprar per a calcular el logaritmo d'un número entre 0 i 1. Per eixemple, 0,045 en notació científica s'expressa com 4,5 × 10⁻². Cal anar en conte en este exponent, que és negatiu. Açò donarà lloc al resultat log(0,045) 0,65 - 2 = -1,35.

Un atre método és calcular el logaritmo del número a partir d'una factorización de números que els seus logaritmos siguen coneguts. En l'eixemple anterior, 45 = 9 × 5, per tant, log(45) = log(9) + log(5) 0,96 + 0,70 = 1,66.

Verificar el resultat

Hi ha vàries formes de comprovar si el resultat al que s'ha aplegat és el correcte:

Orde de magnitut: Si, despuix de multiplicar dos números menors de 100, el resultat és major de 10 000, segur que hi ha algun problema. En una multiplicació de dos factors, cal comprovar que el resultat té un número de sifres igual, o una unitat major (segons el cas) que la suma de les sifres dels factors. A sovint els errors en l'orde de magnitut es deuen a una mala posició d'un dels números a l'hora de sumar els productes parcials. Per eixemple, multiplicar 65 × 205 en lloc de 65 × 25, o viceversa.
Sifra de les unitats: Consistix en comprovar que l'última sifra del resultat és correcta vista l'última sifra de cada u dels números en que es partix. Per eixemple, 73 × 64 deu terminar en 2, ya que 3 × 4 = 12. Esta verificació permet conéixer una sifra en certea.
Prova del nou: Esta verificació es basa en la suma de les sifres de cada u dels factors i del resultat fins que solament queden números d'una sifra. Per eixemple, si nos queda 73 × 64 = 4662, podem comprovar si és cert sumant les sifres de cada u dels números:

7 + 3 = 10, 1 + 0 = 1

6 + 4 = 10, 1 + 0 = 1

4 + 6 + 6 + 2 = 18, 1 + 8 = 9

No obstant, 1 × 1 no és igual a 9, aixina que el resultat no és correcte. Caldria revisar de nou la multiplicació o realisar-la de nou. (El resultat correcte és 4672) Este método és bo per a detectar errors de carrege.

Vore també

Referències

↑ “Primary school pupils’ strategies for mental addition and subtraction computations” (2018). International Journal of Education and Research 6 (8): 43–56.
↑ ^2,0 ^2,1 «Càlcul ultrarrápido» (en és). ANECDOTARIO I CURIOSIDADES MATEMÁTICAS. Consultat el 28 de novembre de 2020.
↑ REVEDUC - Revista Eletrônica de Educação.18(1)
i6956230.ISSN 1982-7199.doi:10.14244/reveduc.v18i1.6956.
↑ «How to Do Cube Roots of 9 Digit Numbers in Your Head». Consultat el 2015-07-19.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Cálculo mental» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] “Primary school pupils’ strategies for mental addition and subtraction computations” (2018). International Journal of Education and Research 6 (8): 43–56.

[MAROZA-2] 2,0 ^2,1 «Càlcul ultrarrápido» (en és). ANECDOTARIO I CURIOSIDADES MATEMÁTICAS. Consultat el 28 de novembre de 2020.

[3] REVEDUC - Revista Eletrônica de Educação.18(1)
i6956230.ISSN 1982-7199.doi:10.14244/reveduc.v18i1.6956.

[4] «How to Do Cube Roots of 9 Digit Numbers in Your Head». Consultat el 2015-07-19.

[1]

[2]

[3]

[4]