Desigualtat de les miges aritmètica i geomètrica

En matemàtiques, es coneix com a desigualtat entre mija aritmètica i geomètrica, o AM-GM, aquella desigualtat que establix que la mija aritmètica d'un conjunt de número real positius és major o igual que la mija geomètrica del mateix conjunt, complint-se únicament l'igualtat quan tots els elements del conjunt siguen iguals.

Mija aritmètica i mija geomètrica

La mija aritmètica d'un conjunt de número real $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ és igual a la suma dividida pel número total d'elements,

$\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} .$

La mija geomètrica d'un conjunt de reals no negatius $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in ℝ^{+}$ , és igual a la raïl enèsima del producte de tots ells:

$\sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}} .$

La desigualtat

Siga $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in ℝ^{+}$ llavors

$\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}} .$

L'igualtat es complix si i només si $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ .

Demostració per inducció

Per a demostrar la desigualtat MA-MG, es desenrollarà per una variant del método d'inducció matemàtica, demostrant que la MA-MG és certa per a 2 elements, despuix generalisant-ho per a 2n elements i demostrant que si és certa per a n és certa per a n-1 elements (variant "avant-arrere" segons Augustin Louis Cauchy).

Siga $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in ℝ^{+}$ un conjunt de n elements.

Procedim a considerar el primer pas en que n=2:

$(x_{1} - x_{2})^{2} \geq 0$

$x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} \geq 0$

$x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} \geq 4 x_{1} x_{2}$

$(x_{1} + x_{2})^{2} \geq 4 x_{1} x_{2}$

$\frac{(x_{1} + x_{2})^{2}}{4} \geq x_{1} x_{2}$

$\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \geq \sqrt[2]{x_{1} x_{2}}$

Quedant aixina demostrat per a n=2, despuix es demostra que si és certa per a n és certa per a 2n elements.

$\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{2 n}}{2 n} \geq \sqrt[2 n]{x_{1} x_{2} \dots x_{2 n}}$

$\frac{\frac{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})}{n} + \frac{(x_{n + 1} + x_{n + 2} + \dots + x_{2 n})}{n}}{2} \geq \sqrt[2]{\frac{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})}{n} \frac{(x_{n + 1} + x_{n + 2} + \dots + x_{2 n})}{n}}$

Seguint l'hipòtesis,

$\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}}$

Se seguix que,

$\frac{\frac{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})}{n} + \frac{(x_{n + 1} + x_{n + 2} + \dots + x_{2 n})}{n}}{2} \geq \sqrt[2]{\sqrt[n]{(x_{1} x_{2} \dots x_{n})} \sqrt[n]{(x_{n + 1} x_{n + 2} \dots x_{2 n})}}$

Sent açò igual a,

$\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{2 n}}{2 n} \geq \sqrt[2 n]{x_{1} x_{2} \dots x_{2 n}}$

Quedant aixina demostrat que si és cert per a n elements és cert per a 2n elements.

Ara procedim a demostrar que si és certa per a n elements és certa per a n-1 elements,

Sean $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n - 1} \in ℝ^{+}$ i $x_{n} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1}$

Es considera la desigualtat de tots els elements mencionats,

$\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1} + \frac{x_{1} + x_{2} \dots + x_{n - 1}}{n - 1}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n - 1} \frac{x_{1} + x_{2} \dots + x_{n - 1}}{n - 1}}$

$\frac{(n - 1) x_{1} + (n - 1) x_{2} + \dots + (n - 1) x_{n - 1} + x_{1} + x_{2} \dots + x_{n - 1}}{(n - 1) n} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n - 1}} \sqrt[n]{\frac{x_{1} + x_{2} \dots + x_{n - 1}}{n - 1}}$

$\frac{n x_{1} + n x_{2} + \dots + n x_{n - 1}}{(n - 1) n} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n - 1}} \sqrt[n]{\frac{x_{1} + x_{2} \dots + x_{n - 1}}{n - 1}}$

$\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n - 1}} \sqrt[n]{\frac{x_{1} + x_{2} \dots + x_{n - 1}}{n - 1}}$

$(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1})^{\frac{n - 1}{n}} \geq (x_{1} x_{2} \dots x_{n - 1})^{\frac{1}{n}}$

$(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1})^{\frac{n - 1}{1}} \geq (x_{1} x_{2} \dots x_{n - 1})$

Fent raïl n-1-ésima se seguix,

$(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}}{n - 1}) \geq (x_{1} x_{2} \dots x_{n - 1})^{\frac{1}{n - 1}}$

Quedant aixina demostrat pel método inductivo, la veracitat de la desigualtat AM-GM.

$\frac{x_{1} + x_{2} \dots + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}}, \forall n \in ℕ$ Q.E.D.

Vore també

Mija

Desigualtat matemàtica

Mija aritmètica

Mija geomètrica

Inducció matemàtica

Referències

Oleksandr, karlein.Rondero Guerrero, Carlos.Tarasenko, Anna. (2008). Desigualtats, métodos de càlcul no tradicionals". Díaz de Sants. ISBN 978-84-7978-807-0

Este artícul conté una traducció derivada de «Desigualdad de las medias aritmética y geométrica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.