Prova del nou

La prova del nou és un método matemàtic utilisat per a verificar, d'una forma senzilla, si una operació de suma, substracció, multiplicació o divisió, realisada a mà, ha donat un resultat erròneu.

Per mig d'esta prova es pot comprovar si l'operació té algun error o no. Si el resultat de la prova dona «erròneu» es pot assegurar que l'operació no és correcta; no obstant, si el resultat de la prova dona «correcte» açò no implica necessàriament que l'operació estiga ben (existix una provabilitat del 10% que un resultat erròneu no siga detectat).

Esta prova va ser molt popular fins a mediats de la década de 1970, quan les calculadores portàtils es varen fer usuals. Fins a llavors la forma habitual de verificar la bondat d'una operació realisada era per mig d'este tipo de artificios matemàtics o per mig de la repetició de l'operació per una atra persona i el cotege dels resultats obtinguts.

Definició de la RAE

Càlcul senzill que servix per a verificar el resultat de les operacions aritmètiques, especialment en la multiplicació i en la divisió, fundat que el restant de dividir un número per nou és el mateix que el de dividir també per nou la suma de les seues sifres.

Prova del nou per a operacions bàsiques

Totes les proves del nou explicades a continuació requerixen el càlcul de la suma de sifres, per a un número natural:

A on $a_i$ són les sifres decimals del número $A$

La suma de les seues sifres és:

esta operació de suma de sifres coincidix en el restant de la divisió sancera entre 9:

raó per la qual al restant a es li califica de "reste mòdul 9 de A" i es designa per (A mod 9).

Prova del nou en la multiplicació

Per a comprovar si el resultat d'una multiplicació (ABC=D) és erròneu:

1. Es calcula el restant de dividir el resultat obtingut entre 9. d = (D mod 9).
2. Es calcula el restant dels multiplicandos dividint-los entre 9. a = (A mod 9); b = (B mod 9); c = (C mod 9).
3. Es multipliquen estos restants i s'obté el seu restant en dividir-ho entre 9. abc = N; n = (N mod 9).
4. Es comprova si els dos valors obtinguts són iguals. d = n.

Si d distint que n ⇒ Sabem que la multiplicació no és correcta (A x B x C distint D).

Si d igual que n. És provable, encara que no segur, que la multiplicació siga correcta.

Prova del nou en la divisió

Per a comprovar si el resultat d'una divisió sancera (A/B=C i en restant D) és erròneu A / B = C en restant D ⇒ A = BC+D

1. Es calcula el restant de dividir cada u dels números intervinents entre 9.

   a = (A mod 9).

   b = (B mod 9).

   c = (C mod 9).

   d = (D mod 9).

2. Es multipliquen els restants (de dividir entre 9) del denominador pel de el cocient. bc
3. Se li sumixca al resultat anterior el restant (de dividir entre 9) del restant de la divisió. I=bc + d
4. S'obté el restant de dividir entre 9 este resultat obtingut i = (I mod 9).
5. Es comprova si el restant obtingut és igual al restant del numerador i=a.

Si i distint que a ⇒ Sabem que la divisió no és correcta (A distint de BC+D).

Si i igual que a. És provable, encara que no segur, que la divisió siga correcta.

Prova del nou per a la suma i la resta

Análogamente pot desenrollar-se una prova del nou para la resta C = A - B

1. a:= (A mod 9), b:= (B mod 9) i c:= (C mod 9).

   Es calcula a+c (mod 9)

Si este últim resultat no coincidix en b llavors l'operació conté algun error. Si a+c coinicde en b, llavors provablement l'operació és correcta (encara que no pot excloure's un improvable fals positiu). Per a la suma A₁+A₂+...+A_n = B la prova seria:

1. a_i:= (A_i mod 9) [per a i = 1 ... n.

   Es calcula a₁+a₂+...+a_n (mod 9)

   Es calcula b:= (B mod 9)

Si els resultats dels últims dos passos diferixen existix algun error, si coincidixen provablement l'operació és correcta (encara que no pot descartar-se del tot un fals positiu).

Vore també

• Regles de divisibilidad