Espai coordenat real

En matemàtiques, un espai coordenado real o espai de coordenades reals de dimensió n, escrit Rⁿ o ${ℝ}^n$, és un espai vectorial sobre els número real. Açò significa que és el conjunt de les n-tuplas formades per número real (seqüències de n número real). En la suma de components i la multiplicació escalar, és un espai vectorial.

Estructura del producte cartesiano R² en coordenades cartesianas de parells ordenats (x, i). Les llínees blaves indiquen coordenades cartesianas, les llínees verdes horisontals són número entero i, les llínees cian verticals són número entero x, les llínees marró-taronja mostren números semienteros x o i, el magenta mostra submúltiplos del sistema de numeració decimal (es veu millor en aument)

Normalment, les coordenades cartesianas dels elements d'un espai euclídeo formen un espai de coordenades reals. Açò explica el nom de "espai de coordenades" i el fet de que els térmens geomètrics s'utilisen a sovint quan es treballa en ells. Per eixemple, R² és un pla.

Els espais de coordenades s'utilisen molt en geometria i física, ya que els seus elements permeten ubicar punts en espais euclídeos i calcular en ells.

Definició i estructures

Per a qualsevol número natural n, el conjunt Rⁿ consta de totes les n-tuples de número real (R). Se li denomina "espai real n-dimensional" o el "n-espai real".

Per lo tant, un element de Rⁿ és una n-tupla , i s'escriu

$(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

a on cada x_i és un número real. Llavors, en càlcul multivariable, el domini d'una funció multivariable real i el codominio d'una funció vectorial valuada real són subconjunts de Rⁿ per a alguns n.

L'espai n-real té vàries propietats més, en particular:

• En l'adició de components i la multiplicació escalar, és un espai vectorial. Cada espai vectorial real de dimensió n és isomorfo a ell.
• En el producte escalar (suma del producte terme a terme de les components), és un espai prehilbertiano. Cada espai en producte intern real n-dimensional és isomorfo a ell.
• Com tot espai en producte intern, és un espai topològic i un espai vectorial topològic.
• És un espai euclídeo i un espai afí real, i cada espai euclidiano o afí és isomorfo a ell.
• És una varietat analítica i pot considerar-se com el prototip de totes les varietats, ya que, per definició, una varietat és, prop de cada punt, isomorfa a un conjunt obert de Rⁿ.
• És una varietat algebraica, i cada varietat algebraica real és un subconjunt de Rⁿ.

Estes propietats i estructures de Rⁿ ho fan fonamental en casi totes les àrees de les matemàtiques i els seus dominis d'aplicació, com estadística, teoria de la provabilitat i moltes parts de la física.

Domini d'una funció de múltiples variables

Artícul principal → Càlcul multivariable.

Qualsevol funció f(x₁, x₂, …, x_n) de n variables reals es pot considerar com una funció en Rⁿ (és dir, en Rⁿ com el seu domini). L'us de l'espai n real, en lloc de vàries variables considerades per separat, pot simplificar la notació i sugerir definicions raonables. Considere's, per a n = 2, una funció composta de la següent forma:

$F(t)=f(g_1(t),g_2(t)),$

a on les funcions g₁ i g₂ són contínues. Si

∀x₁ ∈ R : f(x₁, ·) és contínua (per x₂)

∀x₂ ∈ R : f(·, x₂) és contínua (per x₁)

llavors F no és necessàriament contínua. La continuïtat és una condició més forta: la continuïtat de f en la topología natural R² (analisada més avall), també cridada continuïtat multivariable, que és suficient per a la continuïtat de la composició F.

Vore també

• Objecte exponencial, per a una explicació teòrica de la notació de superíndex
• Espai proyectivo real

Bibliografia

• Kelley, John L. (1975). General Topology, Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Munkres, James (1999). Topology, Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.