Suma directa de mòduls

Un coproducto $(A_{i})_{i \in I}$ d'objectes en una categoria $C$ , és un objecte $S$ de $C$ , junt a una família de morfismos $f_{i} : A_{i} \to S$ ( $i \in I$ ) tal que per a qualsevol objecte $B$ i una família de morfismos $g_{i} : A_{i} \to B$ , existix un únic morfismo $g : S \to B$ tal que $g \circ f_{i} = g_{i}$ .

No hi ha una notació uniforme per als coproductos o sumes directes i algunes voltes es denota $⨁_{i \in I} A_{i}$ .

Eixemples

Considerem un anell R i la categoria de R-mòduls per l'esquerra. En este cas, la suma directa d'una família de R-mòduls existix i és única. La construcció es pot fer de la següent manera:

Siga $(A_{i})_{i \in I}$ una família de R-mòduls per l'esquerra, llavors definim

S : = {(a_{i})_{i \in I} : a_{i} \in A_{i}

i tots els

a_{i}

són zero, llevat un número finit d'ells

}

, i definim

f_{i} : A_{i} \to S

com l'inclusió de

A_{i}

en la i-ésima coordenada de S.

I definim la suma d'elements en S, i el producte escalar, d'un element $k \in$ R per un de S de la següent manera, coordenada a coordenada:

(a_{i})_{i \in I} + (b_{i})_{i \in I} : = (a_{i} + b_{i})_{i \in I}

k (a_{i})_{i \in I} : = (k a_{i})_{i \in I}

Un cas particular de lo anterior és el cas en que R és cos, és dir quan estem en la categoria d'espais vectorials sobre un cos donat. En este cas, dau V espai vectorial i W, O dos subespacios de V, tals que $W \cap U = {0}$ , podem definir la suma directa interna, denotada $W \oplus U$ , com el subespacio generat per W i O. No és difícil provar que este subespacio és isomorfo a la suma directa definida en el punt anterior.

Un atre cas és la suma directa de grups abelianos, ya que la categoria de grups abelianos és equivalent a la categoria de $ℤ$ -mòduls.

Suma directa d'espais vectorials

Daus dos subespacios vectorials $F_{1}, F_{2}$ d'un espai vectorial $E$ , podem definir la suma directa interna de $F_{1}, F_{2}$ , i direm que $F_{1}$ i $F_{2}$ estan en suma directa, si, i només si, per a tot element $u \in F_{1} + F_{2}$ existix una única parella $(u_{1}, u_{2}) \in F_{1} \times F_{2}$ tal que $u = u_{1} + u_{2}$ . En este cas, escriurem $F_{1} \oplus F_{2}$ . En este cas es pot dir també que la suma $F_{1} + F_{2}$ és directa.

Dit d'un atre modo, la suma de dos subespacios vectorials $F_{1}$ i $F_{2}$ és directa si la descomposició de tot element de $F_{1} + F_{2}$ com sumixca d'un element de $F_{1}$ i un element de $F_{2}$ és única.

Esta noció es pot generalisar a famílies finitas de subespacios de $E$ . Direm que ${F_{1}, \dots, F_{k}}$ estan en suma directa si, i només si, per a tot element de la suma $F_{1} + \dots + F_{k}$ , existix una única $k$ -tupla $(u_{1}, \dots, u_{k}) \in F_{1} \times \dots \times F_{k}$ tal que $u = u_{1} + \dots + u_{k}$ .

En dimensió finita, tenim la següent caracterisació de que una família de subespacios estiguen en suma directa:

En dimensió qualsevol, només són certs aquells apartats a on no s'utilisa que la dimensió siga finita per a construir bases o parlar de la fòrmula de Grassmann, és dir, en dimensió arbitrària, tenim la següent caracterisació:

Resultats clàssics relacionats en la suma directa

Els següents resultats relacionats en la suma directa són clàssics:

Daus $E$ un espai vectorial sobre un cos $𝕂$ de dimensió finita i $f$ un endomorfisme de $E$ en valors propis $λ_{1}, \dots, λ_{r}$ distints dos a dos, si denotem $E_{i}$ l'espai propi del valor propi $λ_{i}$ , llavors $E_{1} \oplus \dots \oplus E_{r}$ . La demostració d'açò es pot vore en l'artícul sobre diagonalisació.
Dau $E$ un espai vectorial sobre un cos $𝕂$ de dimensió finita, per a qualsevol subespacio $F \subseteq E$ , es té que $E = F \oplus F^{⊥}$ , en $F^{⊥}$ el complement ortogonal de $F$ . La demostració d'açò es pot vore en l'artícul sobre el complement ortogonal.

Daus $E$ un espai vectorial sobre un cos $𝕂$ de dimensió finita, $f$ un endomorfisme de $E$ i un polinomi $p \in 𝕂 [t]$ anulador de $f$ , i.i. $p (f) = 0$ , que descompon en factors irreducibles com $p = p_{1} \cdot \dots \cdot p_{r}$ , es té que $E = \ker p_{1} (f) \oplus \dots \oplus \ker p_{r} (f)$ . Pel teorema de Cayley-Hamilton este polinomi pot ser, per eixemple, el polinomi característic de $f$ . Es pot demostrar que per a qualsevol polinomi, $\ker p (f)$ és un subespacio invariante per $f$ . Per tant, l'anterior teorema afirma que per a qualsevol endomorfisme $f$ de $E$ , podem descompondre $E$ com suma directa de subespacios invariantes per $f$ . La demostració de tot açò es pot vore en l'artícul sobre subespacios invariantes.

Este artícul conté una traducció derivada de «Suma directa de módulos» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.