Teorema de Cayley-Hamilton

Retrat d'Arthur Cayley.

En àlgebra llineal, la teorema de Cayley-Hamilton (que du els noms dels matemàtics Arthur Cayley i William Hamilton) assegura que tot endomorfisme d'un espai vectorial de dimensió finita sobre un cos qualsevol anula el seu propi polinomi característic.

En térmens matriciales, això significa que:

Si A és una matriu quadrada d'orde n i si $p(\lambda )=\det (\lambda I_n-A)={\lambda }^n+p_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\dots +p_1\lambda +p_0$ és el seu polinomi característic (polinomi d'indeterminada λ), llavors en substituir formalment λ per la matriu A en el polinomi, el resultat és la matriu nula:

$p(A)=A^n+p_{n-1}{A}^{n-1}+\dots +p_{1}A+p_0{I}_n=0_n.$

La teorema de Cayley-Hamilton s'aplica també a matrius quadrades de coeficients en un anell conmutativo qualsevol.

Un corolari important de la teorema de Cayley-Hamilton afirma que el polinomi mínim d'una matriu donada és un divisor del seu polinomi característic, i no solament això, el polinomi mínim té els mateixos factors irreducibles que el polinomi característic.

Motivació

Esta teorema té dos famílies d'us:

• Permet establir resultats teòrics, per eixemple per a calcular el polinomi característic d'un endomorfisme nilpotent.
• Permet també simplificació poderoses en el càlcul de matrius. L'aproximació per polinomis mínims és en general menys costosa que la que es fa per determinants.

Trobem esta teorema utilisada en els artículs sobre els polinomis d'endomorfisme, endomorfismes nilpotents, i més en general en la teoria general de les matrius.

Demostració

Efectuem la demostració sobre la matriu $A$. Definim la matriu $B(X)$ com $B(X)=adj(A-I\cdot X)$. Sabem que

$B(X)\cdot (A-I\cdot X)=I\cdot \det (A-I\cdot X)=I\cdot P(X)$

Podem interpretar els membres i factors d'esta igualtat com a polinomis en X en coeficients en l'anell de les matrius quadrades nxn en coeficients en K. Escrigam $B(X)=\sum _i{B}_i\cdot X^i$. Prenent $X=A$, s'obté $0=(\sum _i{B}_i\cdot A^i)\cdot (A-A)=I\cdot P(A)$, després $P(A)=0$.

Vore també Polinomi d'endomorfisme per a una atra demostració.

Vore també

• Polinomi mínim
• Polinomi característic