Pseudoanillo

En matemàtiques entenem per pseudoanillo una estructura algebraica de la forma

$𝐑=⟨R,+,*⟩$

a on R és un conjunt, la base del pseudoanillo, + i * són operacions binarias i existix 0, un element del conjunt, el zero del pseudoanillo, tal que

$⟨R,+⟩$ és un grup abeliano

$⟨R,*⟩$ és un semigrupo.

Les operacions + i * es diuen respectivament suma i producte del pseudoanillo.Plantilla:Sfnp

Quan el producte d'un pseudoanillo posseïx una unitat, que notem en 1, és dir, quan $⟨R,*⟩$ és un monoide,

$⟨R,+,*⟩$

és una estructura anomenada anell.

Si el producte d'un pseudoanillo és conmutativo, l'estructura es diu pseudoanillo abeliano.

Eixemples

Tots els anells són anells. Un eixemple simple d'un pseudoanillo que no és un anell ho donen els número entero pares en la suma i multiplicació ordinària d'número entero. Un atre eixemple ho dona el conjunt de totes les matrius reals de 3 per 3 la fila inferior de les quals és zero. Abdós eixemples són eixemples del fet general de que tot ideal (d'un o dos costats) és un anell.

Els rancs a sovint apareixen naturalment en l'anàlisis funcional quan es consideren operadors llineals en espais vectorials de dimensió infinita. Prengam, per eixemple, qualsevol espai vectorial de dimensió infinita V i considerem el conjunt de tots els operadors llineals f : V → V en ranc finito (és dir, dim f(V) < ∞). Junt en l'adició i composició d'operadors, açò és un pseudoanillo, pero no un anell. Un atre eixemple és el pseudoanillo de totes les seqüències reals que convergixen a 0, en operacions per components.

Ademés, molts espais de funciones de prova que apareixen en la teoria de distribucions consistixen en funcions que disminuïxen a zero en l'infinit, com, per eixemple, l'espai de Schwartz. Per lo tant, la funció sempre igual a un, que seria l'únic element d'identitat possible per a la multiplicació puntual, no pot existir en tals espais, que per lo tant són pseudoanillos (para suma i multiplicació puntual). En particular, les funcions contínues de valor real en soport compacte definit en algun espai topològic, junt en la suma i multiplicació puntuals, formen un pseudoanillo; açò no és un anell a menos que l'espai subjacent siga compacte.

Eixemple: número entero pares

El conjunt 2Z de sancers parells és tancat baix suma i multiplicació i té una identitat aditiva, 0, per lo que és un pseudoanillo, pero no té identitat multiplicativa, per lo que no és un anell.

En 2Z, l'únic idempotent multiplicativo és 0, l'únic nilpotent és 0 i l'únic element en invers reflexiu és 0.

Eixemple: seqüències quinarias finitas

La suma directa $𝒯={⨁}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}𝐙/5𝐙$ equipat en suma i multiplicació per coordenades és un rng en les següents propietats:

• Els seus elements idempotents formen una ret sense llímit superior.
• Cada element x té un invers reflexiu, és dir, un element i tal que xyx = x i yxy = i.
• Per a cada subconjunt finito de $𝒯$, existix un idempotent en $𝒯$ que actua com una identitat per a tot el subconjunt: la seqüència en un un en cada posició a on una seqüència en el subconjunt té un element distint de zero en eixa posició i zero en totes les demés posicions.