Compactificación de Alexándrov

En topología, una branca de les matemàtiques, la compactificación de Alexándrov és un concepte introduït pel matemàtic rus Pável Aleksándrov. La compactificación de Alexándrov és una forma d'estendre un espai topològic no compacte a un que sí que lo siga per mig de l'adició d'un sol punt, el "punt de l'infinit".

Definició

Siga $(X,𝒯)$ un espai topològic localment compacte i de Hausdorff. Siga $X^{*}=X\cup \{\mathrm{\infty }\}$ i definim en $X^{*}$ la següent topología:

${𝒯}^{*}=𝒯\cup \{X^{*}\setminus K:K\subseteq X\text{ compacto}\}$

En esta topología, $X^{*}$ es denomina la compactificación de Alexándrov de $X$.

En eixe cas, $(X^{*},{𝒯}^{*})$ és una extensió de $(X,𝒯)$ (en el sentit de que la topología induïda en $X$ és la seua topología original $𝒯$) compacta i de Hausdorff.

Més alvance en l'artícul es demostren estes propietats i es dona una justificació intuïtiva de per qué es definix aixina la topología de la compactificación.

Motivació

Archiu:Real projective line.svg

Compactificación de $(0,1)\subseteq ℝ$ en un sol punt $\{\mathrm{\infty }\}$.

L'objectiu de la construcció és, donat un espai topològic general, estendre-ho a un espai major que les propietats desijables de ser de Hausdorff i compacte. És dir, donat un espai topològic $(X,𝒯)$, voldríem trobar un espai topològic major $X^{*}\supseteq X$ de manera que $(X^{*},{𝒯}^{*})$ sí que siga de Hausdorff i compacte i que induïxca en $X$ la topología que tenia este originalment en considerar-ho com subespacio de $X^{*}$. És dir, que ${𝒯}_{\mid X}^{*}=𝒯$.

Un primer eixemple que nos podríem plantejar seria compactificar el conjunt $X=(0,1)\subseteq ℝ$, en la topología induïda de l'usual de $ℝ$. Una manera de compactificarlo seria afegir-li els dos punts extrems, és dir, prendre $X^{*}=[0,1]\subseteq ℝ$ també en la topología induïda de l'usual. Clarament és de Hausdorff (per ser subespacio de $ℝ$, que ho és), compacte (pel teorema de Heine-Borel, ya que és tancat i acotat) i induïx en $X=(0,1)$ la topología original.

No obstant, podríem haver-ho fet d'una atra forma: prenent $X^{*}\simeq {𝕊}^1\subseteq {ℝ}^2$, la circumferència en la topología induïda de l'usual de $ℝ$. Podem deformar homeomórficamente l'interval $(0,1)$ en ${𝕊}^1\setminus \{N\}$, a on $N$ simbolisa el punt $(0,1)\in {𝕊}^1$ (formalment, podem fer $(0,1)\simeq ℝ\simeq 𝕊\setminus \{N\}$, a on el primer homeomorfisme ve dau per $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}$, per eixemple, i el segon és la proyecció estereográfica). Ara, afegint un punt $N$ a l'espai deformat obtenim ${𝕊}^1$, que és compacte i Hausdorff. És dir, hem compactificado en un sol punt una deformació de l'espai $X$. Podem intuir (encara que es podria demostrar) que esta compactificación en un sol punt de l'espai deformat induïx, de fet, una de l'espai original.

Observem que per a espais més complicats podria haver encara més compactificaciones possibles (afegint distintes cantitats de punts). Lo que nos preguntem és si és sempre possible fer-ho en un únic punt. En cas que existixca, la compactificación de $X$ en un sol punt, $\mathrm{\infty }$, es diu la compactificación de Alexándrov.

Oberts de la compactificación

Archiu:Stereographic projection.svg

Proyecció estereográfica

En esta secció es justifica informalmente la definició de la topología en $X^{*}=X\cup \{\mathrm{\infty }\}$ analisant l'eixemple concret de la compactificación de ${ℝ}^2$.

Lo primer que observem és que, per a assegurar que ${𝒯}^{*}$ induïxca $𝒯$ en considerar el subespacio $X\subseteq X^{*}$, podem impondre que tots els oberts de $X$ siguen, a la seua volta, oberts de $X^{*}$. És dir, que $𝒯\subseteq {𝒯}^{*}$.

Archiu:Stereographic projection 2024.png

Proyecció estereográfica d'un conjunt que passa pel pol nort

No obstant, encara no hem definit cap obert que passe pel punt afegit, $\mathrm{\infty }$. Anem a vore cóm analisant un cas concret: la compactificación de ${ℝ}^2$. Tenim que ${ℝ}^2\simeq {𝕊}^2\setminus \{N\}$ per mig de la proyecció estereográfica inversa, a on $N$ representa el pol nort. Intuitivament, veem que la compactificación de Alexándrov de ${ℝ}^2$ deurà ser homeomorfa a ${𝕊}^2$, en el pol nort en correspondència en $\mathrm{\infty }$ (açò es demostrarà en l'apartat de relació en homeomorfismes). Llavors, nos podem fer una idea de cóm són els oberts que passen per infinit veent cóm són els oberts de ${𝕊}^2$ que passen pel pol nort. Si prenem un obert que passe pel pol nort i ho proyectem estereográficamente en ${ℝ}^2$ (llevant-li el pol nort abans, que va a parar a infinit), obtenim un conjunt obert de ${ℝ}^2$ complementari d'un conjunt acotat (vore dibuix). És dir, el complementari d'un conjunt tancat i acotat de ${ℝ}^2$, pero açò és, pel teorema de Heine-Borel, el complementari d'un compacte. És dir, tot obert de la compactificación de ${ℝ}^2$ que passe per infinit deu ser el complementari d'un compacte.

Generalisant açò, obtenim la definició de la topología de la compactificación:

${𝒯}^{*}=𝒯\cup \{X^{*}\setminus K:K\subseteq X\text{ compacto}\}$

Bibliografia

• Math. Ann..92(3-4)

294-301.doi:10.1007/BF01448011.

• J. London Math Soc. (2).7

515–522.doi:10.1112/jlms/s2-7.3.515.

• Engelking, Ryszard (1989). General Topology, Helderman Verlag Berlin. ISBN 978-0-201-08707-9.
• Plantilla:Springer
• Kelley, John L. (1975). General Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Munkres, James (1999). Topology, Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Willard, Stephen (1970). General Topology, Addison-Wesley. ISBN 3-88538-006-4.
• Pascual; Roig, Agustí (2004). Topologia (en Català), pp. 104-109. ISBN 8483017504.

Vore també

• Esfera de Riemann
• Proyecció estereográfica
• Espai normal