Teorema de Tíjonov

En topología, la teorema de Tíjonov establix que el producte de qualsevol colecció d'espais topològics compactes és compacte.

La teorema es va nomenar aixina per Andréi Nikoláyevich Tíjonov, qui ho va provar per primera volta en 1930 per a potències de l'interval unitari tancat i ho va generalisar en 1935 resaltant que la prova era la mateixa que per al cas especial. La prova més recent que es va publicar està continguda en un artícul de 1937 d'Eduard Čech.

Varis texts identifiquen la teorema de Tíjonov com el resultat més important en topología general [Willard, p. 120]; uns atres també inclouen el lema de Urysohn que deu el seu nom a Pável Urysón.

Definició

La teorema depén crucialmente de les definicions precises de compacidad i de la topología producte; de fet, l'artícul de Tíjonov de 1935 definix la topología producte per primera volta.

De fet, la definició de Heine-Borel de compacidad —que cada coberta d'un espai per conjunts oberts admet una subcubierta finita— és relativament recent. Més popular en els sigles XIX i principis de el XX va ser el criteri de Bolzano-Weierstrass de que cada successió admet una subsucesión convergent, ara cridat compacidad seqüencial. Estes condicions són equivalents per a espais metrisables, pero cap implica l'atra sobre la classe de tots els espais topològics.

És casi trivial provar que el producte de dos espais compactes seqüencials compacte secuencialmente —un passa a una subsucesión per al primer component i llavors a una subsucesión per al segon component. Un argument més elaborat de diagonalización establix la compacidad seqüencial d'un producte contable d'espais compactes seqüencials. No obstant, el producte d'un número no contable de còpies de l'interval unitari tancat falla en ser compacte secuencialment.

Esta és una falla crítica: si X és un espai completament regular de Hausdorff, existix un encaix natural des de X cap a [0,1]. La compacidad de [0,1]^C(X,[0,1]) mostra que cada espai regular completament de Hausdorff es embebe en un espai espai compacte de Hausdorff (o pot ser "compactificado"). Esta construcció no és una atra que la compactificación de Stone–Čech. Inversamente, tots els subespacios d'espais compactes de Hausdorff són regulars completament de Hausdorff, aixina que açò caracterisa els espais regulars completament de Hausdorff com aquells que poden ser compactificados. Tals espais són cridats ara espais de Tíjonov.

Aplicacions

La teorema de Tíjonov també s'usa en la prova del teorema de Banach-Alaoglu i en el teorema de Arzelá-Ascoli. Com una regla increbantable, qualsevol classe de construcció que pren com a entrada un objecte general (del tipo algebraic o topològic-algebraic) i ix un espai compacte és possible que use a Tíjonov: és dir, l'espai de Gelfand, l'espai de Stone, l'espectre de Berkovich.

Referències

• Chernoff, Paul N, A simple proof of Tychonoff's theorem via nets, American Mathematical Monthly 99, 932–934, 1992.
• Johnstone, Peter T., Stone spaces, Cambridge studies in advanced mathematics 3, Cambridge University Press, 1982.
• Johnstone, Peter T., Tychonoff's theorem without the axiom of choice, Fonamenta Mathematica 113, 21–35, 1981.
• Kelley, John L., Convergence in topology, Duke Mathematics Journal 17, 277–283, 1950.
• Kelley, John L., The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice, Fonamenta Mathematica 37, 75–76, 1950.
• Munkres, James, Topology, 2nd edition, Prentice Hall, 2000.
• Tychonoff, Andrey N., Über die topologische Erweiterung von Räumen. Mathematische Annalen 102, 544–561, 1930.
• Willard, Stephen, General Topology, Dover Publications, 2004.