Axioma dels número real

Archiu:Dedekind.jpeg

Richard Dedekind va introduir el concepte de cortaduras, equivalent a l'axioma del suprem

En matemàtiques per a que una afirmació siga considerada vàlida o verdadera deu o ben estar continguda dins d'una base d'afirmacions de partida, els denominats axioma, o deu poder demostrar-se a partir dels mateixos. Els axioma són per tant els pilars fonamentals de tota branca de les matemàtiques, i a partir d'ells, per mig de les demostracions matemàtiques, es deduïx la veracitat de qualsevol afirmació.

Els axioma seran, per tant, afirmacions que s'accepten com a verdaderes i que la seua veracitat no pot ser demostrada a partir d'atres axioma. Un axioma pot o no pot ser una afirmació trivial o intuïtiva. Sent l'axioma d'elecció un eixemple d'un axioma que no resulta trivial.

Els teoremas, que són demostracions a partir dels axioma dels número real poden ser "trivials", "òbvies" o "intuïtives" o no. Com per eixemple: qualsevol número real multiplicat per zero és zero; esta demostració de deduïx dels axioma dels número real i sembla prou òbvia. Estes afirmacions deuen ser demostrades usant els axioma o atres teoremes ya demostrades. Una conseqüència immediata d'una teorema es dirà corolari.

Existixen tres tipos de axioma: els axioma cos o algebraics, els axioma d'orde, i l'axioma de completitud.

El primer, tracta de les propietats de la suma, la resta, la multiplicació i la divisió; el segon establix un orde per als elements de cada conjunt donat; el tercer tracta sobre la noció de continuïtat.

Axioma fonamental

Existix un conjunt d'elements que es denota per $ℝ$ que satisfà els tres tipos de axioma mencionats, de cos o algebraics, orde i completitud(existència de suprem).

El conjunt d'elements que complix en estes propietats es diu conjunt dels número real i els axioma d'este conjunt comprenen les bases del anàlisis matemàtic.

Es pot observar que, usant el llenguage llògic matemàtic, les teoremes que es demostren, seran vàlits d'acort als axioma, per lo que les teoremes seran verdaderes.

Axioma de cos o algebraics

Els axioma de cos, podent-se escriure com un tot, poden ser subdivididos en dos tipos: els de l'adició i de la multiplicació. Note's la similitut d'abdós grups.

Axioma sobre la distribució

Este axioma conecta la suma en la multiplicació:

Anàlisis axiomàtic 

L'axioma (1.1) és molt important: la propietat del pany que indica que la suma (o multiplicació) també és un número real i per lo tant es pot considerar com un nou número. l'atra propietat és l'unicitat de la suma (o multiplicació) que indica que esta ¡és única! o siga si tenim que a+b = c pero també a+b = d, llavors forçosament c=d.

• L'axioma (1.2) conegut com a «propietat conmutativa» diu que l'orde dels sumants no altera el valor de la suma. Es generalisa per a n sumants.
• L'axioma (1.3) conegut com «propietat associativa de la suma» diu que l'associació de la suma no altera el valor d'esta.
• L'axioma (1.4) diu que existix un element en els número real que, en ser sumat en zero que és un número real, seguix sent eixe mateix real. Este real es denomina "zero" i s'escriu "0", i es coneix també com l'element «neutre aditiu».
• L'axioma (1.5) diu que donat un número real x qualsevol existix un atre (únic) tal que la suma d'abdós és zero. (és 0). Si este element és $(-x)$. Este element es diu «opost o invers aditiu» de $x$. Tenim que x + (-x) = 0.
• L'axioma (2.2) diu que l'orde dels factors no altera el valor de la multiplicació.
• L'axioma (2.3) diu que podem associar els factors per a utilisar-los en els posteriors procediments matematicos. Esta propietat es coneix com a «propietat associativa de la multiplicació».
• L'axioma (2.4) diu que existix un número real tal que el producte d'est en un atre real que es denomina "un" i s'escriu "1", seguix sent el primer. Este element denotat per $1$ es coneix com a «neutre multiplicativo».

• L'axioma (2.5) diu que per a qualsevol real $x$ no zero, existix un atre, tal que el producte d'abdós dona com resultat el neutre multiplicativo o siga 1. Est numere denotat per $x^{-1}=1/x=\frac{1}{x}$ es coneix com a «invers multiplicativo» de $x$.

Vore també

• Acotat
• Càlcul
• Llímit d'una successió
• Número real
• Principi de bona ordenació
• Successió matemàtica
• Teorema
• Axioma del suprem