Espai de Riesz

En matemàtiques, un espai de Riesz, espai vectorial ordenat en retícul o retícul vectorial és un espai vectorial parcialment ordenat, en el que l'estructura d'orde és un retícul.

Els espais de Riesz duen el nom de Frigyes Riesz, qui els va definir per primera volta en el seu artícul de 1928 Sur la décomposition dones opérations fonctionelles linéaires.

Els espais de Riesz tenen una àmplia gama d'aplicacions. Són importants en la teoria de la mida, ya que els resultats importants són casos especials de resultats per a espais de Riesz. Per eixemple, el teorema de Radon–Nikodym es deduïx com un cas especial del teorema espectral de Freudenthal. Els espais de Riesz també s'han aplicat en economia matemàtica a través del treball de l'economiste i matemàtic greco-nortamericà Charalambos D. Aliprantis.

Definició

Preliminars

Si $X$ és un espai vectorial ordenat (que per definició, és un espai vectorial sobre els número real) i si $S$ és un subconjunt de $X$, llavors un element $b\in X$ és un llímit superior' (respectivament, llímit inferior) de $S$ si $s\le b$ (respectivament, $s\ge b$) para tots els $s\in S.$ Un element $a$ en $X$ és el llímit superior mínim o suprem (respectivament, llímit inferior major o ínfim) de $S$ si és un llímit superior (respectivament, un llímit inferior) de $S$ i si es complix per a qualsevol llímit superior (respectivament, qualsevol llímit inferior) que $b$ de $S,$ $a\le b$ (respectivament, $a\ge b$).

Retícul vectorial preordenado

Un retícul vectorial preordenado és un espai vectorial preordenado $E$ en el que cada parell d'elements té un element suprem i ínfim.

Més explícitament, una ret vectorial preordenada és un espai vectorial dotat d'un conjunt preordenado, $\le ,$ tal que per a qualsevol $x,y,z\in E$:

1. Invariancia traslacional: $x\le y$ implica que $x+z\le y+z.$
2. Homogeneïtat positiva: Per a qualsevol escalar $0\le a,$ $x\le y$ implica que $ax\le ay.$
3. Per a qualsevol parell de vectores $x,y\in E,$ existix un suprem (denotat $x\vee y$) en $E$ sobre l'orde $(\le ).$

El preorden, junt en els elements 1 i 2, que ho fan "compatible en l'estructura de l'espai vectorial", fan de $E$ un espai vectorial preordenado. L'element 3 diu que el demanat anticipat és un semirretículo. Degut a que el preorden és compatible en l'estructura de l'espai vectorial, es pot demostrar que qualsevol parell també té un ínfim, lo que fa que $E$ també siga un semirretículo, i per lo tant, un retícul.

Un espai vectorial preordenado $E$ és un retícul vectorial preordenado si i solament si satisfà qualsevol de les següents propietats equivalents:

1. Per a qualsevol $x,y\in E,$ el seu suprem existix en $E.$
2. Per a qualsevol $x,y\in E,$ el seu ínfim existix en $E.$
3. Per a qualsevol $x,y\in E,$ el seu mínim i el seu suprem existixen en $E.$
4. Per a qualsevol $x\in E,$ $\sup \{x,0\}$ existix en $E.$

Espai de Riesz i celosías vectorials

Un espai de Riesz o un retícul vectorial és un retícul vectorial preordenado, que el seu preorden és un orde parcial. De manera equivalent, és un espai vectorial ordenat que el seu preorden és un retícul.

Tinga's en conte que numeroses autors varen requerir que un retícul vectorial fora un espai vectorial parcialment ordenat (en lloc de simplement un espai vectorial preordenado), mentres que uns atres solament requerixen que siga un espai vectorial preordenado. D'ara en avant, s'assumix en l'artícul que cada espai de Riesz i cada retícul vectorial és un espai vectorial ordenat, pero que un retícul vectorial preordenado no està necessàriament parcialment ordenat.

Si $E$ és un espai vectorial ordenat sobre $ℝ$ el con positiu del qual $C$ (els elements $\ge 0$) s'ha generat (és dir, tal que $E=C-C$), i si per a cada $x,y\in C$ existix $\sup \{x,y\}$ o $\inf \{x,y\}$, llavors $E$ és un retícul vectorial.

Intervals

Un interval d'orde en un espai vectorial parcialment ordenat és un conjunt convexo de la forma $[a,b]=\{x:a\le x\le b\}.$ En un espai vectorial real ordenat, tot interval de la forma $[-x,x]$ és equilibrat. Dels axioma 1 i 2 anteriors es deduïx que $x,y\in [a,b]$ i $t\in (0,1)$ implica que $tx(1-t)y\in [a,b].$ Es diu que un subconjunt està ordenat si està contingut en algun interval d'orde. Una unitat d'orde d'un espai vectorial preordenado és qualsevol element $x$ tal que el conjunt $[-x,x]$ siga absorbent.

El conjunt de tots els funcionals llineals en un espai vectorial preordenado $V$ que assigna cada interval d'orde a un conjunt acotat es denomina dual d'orde acotat de $V$ i es denota per $V^b.$. Si un espai és ordenat, llavors el seu dual d'orde acotat és un subespacio vectorial del seu espai dual.

Un subconjunt $A$ d'un retícul vectorial $E$ es diu de orde complet si per a cada subconjunt $B\subseteq A$ no buide tal que $B$ siga d'orde acotat en $A,$, tant $\sup B$ com $\inf B$ existixen i són elements de $A.$ Es diu que un retícul vectorial $E$ és de orde complet si $E$ és un subconjunt d'orde complet de $E.$

Classificació

Els espais de Riesz de dimensió finita estan completament classificats pel axioma de Arquímedes:

Teorema: Suponga's que $X$ és un retícul vectorial de dimensió finita $n.$ Si $X$ té un orde arquimediano, llavors és (un retícul vectorial) isomorfo a ${ℝ}^n$ segons el seu orde canònic. De lo contrari, existix un número entero $k$ que satisfà que $2\le k\le n$ tal que $X$ és isomorfo a ${ℝ}_L^k\times {ℝ}^{n-k}$ a on ${ℝ}^{n-k}$ té el seu orde canònic, ${ℝ}_L^k$ és ${ℝ}^k$ en orde lexicogràfic, i el producte d'estos dos espais té l'orde canònic del producte.

El mateix resultat no es complix en infinites dimensions. Segons un eixemple per Kaplansky, considere's l'espai vectorial V de funcions en [0,1] que són contínues llevat en un número finito de punts, a on tenen un pol de segon orde. Este espai està ordenat en un retícul per mig de la comparació puntual habitual, pero no es pot escriure com ℝ^κ per a cap cardinal κ. Per un atre costat, l'epi mona factorización en la categoria d'espais vectorials ℝ també s'aplica als espais de Riesz: cada espai vectorial ordenat en retícul és inyectivo en un cocient de ℝ^κ per un subespacio sòlit.

Vore també

• Con convexo
• Element suprem i ínfim

• Espai vectorial ordenat

Bibliografia

• Nicolas Bourbaki; Elements of Mathematics: Integration. Chapters 1–6; Plantilla:Isbn
• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Riesz, Frigyes; Sur la décomposition dones opérations fonctionelles linéaires, congrés Atti. internaz. mathematici (Bolonya, 1928), 3, Zanichelli (1930) págs. 143-148
• Schaefer, Helmut H. (1971). Topological Vector Spaces, First edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.