Corts de Dedekind

Archiu:Dedekind cut- square root of two.png

Definició de raïl de dos per mig de cortaduras de Dedekind.

Els corts de Dedekind (o cortaduras de Dedekind) són un método de construcció dels número real a partir dels número racional. Una secció o cort de Dedekind és una partició especial dels número racional que pot utilisar-se per a representar un número real. El método dels «corts de Dedekind» es denomina aixina pel matemàtic alemà Richard Dedekind, no obstant, Detlef Spalt va mostrar més vesprada que estos corts ya havien segut descrits pel matemàtic francés Joseph Bertrand. En la seua aparició es tanca el problema històric de la fundamentación del Anàlisis matemàtic.^[1]

Cortaduras en el conjunt d'número racional

Un conjunt $A \subset ℚ$ és un tall de Dedekind (o simplement un tall) si complix les següents propietats:

$A \neq \emptyset$ .

$A \neq ℚ$ .

Si $a \in A$ i $b < a$ llavors $b \in A$ .

$A$ no té últim element, és dir, per a cada $a \in A$ existix $a^{'} \in A$ tal que $a < a^{'}$ .

Si prenem un número racional arbitrari $r \in ℚ$ , llavors el tall $A_{r} : = {a \in ℚ : a < r}$ es denominarà cort racional (associada a $r$ ).

És evident que a tot número racional li correspon un tall racional i solament un. Podem establir aixina una aplicació inyectiva $ℚ ⟶ ℝ$ que a l'número racional $r$ li associe el tall racional $A_{r}$ .

Un tall $A$ és tall racional si i solament si existix $r \in ℚ$ tal que $r = sup (A)$ .

Relació d'orde

Definició.

Daus dos corts $A$ i $B$ direm que $A \leq B$ si i solament si $A \subseteq B$

En el conjunt dels número real (conjunt de tots els corts), $\leq$ és una relació d'orde, que és orde total, pero no és bon orde.

Positius, negatius, zero.

Denominem zero a la cortadura racional $A_{0} : = {r \in ℚ : r < 0}$ .

Direm que un tall $A$ és un número positiu si $A_{0} \leq A$ .

Direm que un tall $A$ és un número negatiu si $A \leq A_{0}$ .

Direm que un tall $A$ és estrictament positiu o no negatiu si $A_{0} < A$ .

Direm que un tall $A$ és estrictament negatiu o no positiu si $A < A_{0}$ .

Referències

↑ Rudin, Walter (1964). McGraw (ed.). Principles of Mathematical Analysis, USA: McGRAW-HILL BOOK COMPANY, pp. 17-21. ISBN 0-07-085613-3.

Bibliografia

Godofredo García - Alfred Rosenblatt: Anàlisis algebraic, Sant Marti i cia, Llima (1955)
José Vicente Ampuero: Aritmètica teòrica, Departament de publicacions de La UNMSM, Llima (1960)
Cotlar- Ratto de Sadosky:introducció a l'àlgebra Eudeba Buenos Aires (1967)
Algebra moderna de Schaumm
César Trejo: Concepte de número.

Enllaços externs

Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Cortes de Dedekind» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Principles_of_Mathematical_Analysis-1] Rudin, Walter (1964). McGraw (ed.). Principles of Mathematical Analysis, USA: McGRAW-HILL BOOK COMPANY, pp. 17-21. ISBN 0-07-085613-3.

[1]