Anar al contingut

Relació euclidiana

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià

En matemàtiques, les relacions euclidianas són una classe de relació binarias que formalisen "Axioma 1" en Elements de Euclides': "Magnituts que són iguals a la mateixa són iguals entre sí".

Definició

[editar | editar còdic]
Archiu:Euclidean. caps block 0
Propietat euclidiana dreta: les fleches sòlides i discontínues indiquen els antecedents i els conseqüents, respectivament.

Una relació binaria R sobre un conjunt X és euclídea (a voltes cridada euclídea dreta) si satisfà lo següent: per a cada a, b, c en X, si a està relacionada en b i c, llavors b està relacionada en c.[1] Per a escriure açò en llògica de predicats:

∀a,b,c∈X(aRb∧aRc→bRc).

A la seua volta, una relació R en X és euclídea d'esquerra si per a cada a, b, c en X, si b està relacionada en a i c està relacionada en a, llavors b està relacionada en c:

∀a,b,c∈X(bRa∧cRa→bRc).

Propietats

[editar | editar còdic]
Relació euclidiana dreta esquematizada segons la propietat 10. Els quadrats de color intens indiquen les classes d'equivalència de R′. Rectànguls de color pàlit indiquen les possibles relacions dels elements en X an(R). En estos rectànguls, les relacions poden, o no, mantindre.
  1. Per la conmutatividad de ∧ en l'antecedent de la definició, aRb ∧ aRc implica inclús bRc ∧ cRb quan R és euclídea dreta. De la mateixa manera, bRa ∧ cRa implica bRc ∧ cRb quan R és euclídea esquerra.
  2. La propietat de ser euclidiano és diferent de transitividad. Per eixemple, ≤ és transitiva, pero no euclídea dreta,[2] mentres que xRy definida per 0 ≤ x ≤ i + 1 ≤ 2 no és transitiva,[3] sino euclídea dreta en número naturals.
  3. Para relació simètricas, la transitividad, la euclidiana dreta i la euclidiana esquerra coincidixen. No obstant, també una relació no simètrica pot ser al mateix temps transitiva i euclidiana dreta, per eixemple, xRy definida per i=0.
  4. Una relació que és al mateix temps euclídea dreta i reflexiva és també simètrica i, per tant, una relació d'equivalència.[1][4] Análogament, cada relació euclídea esquerra i reflexiva és una equivalència.
  5. La ranc d'una relació euclídea dreta és sempre un subconjunt[5] del seu domini. La restricció d'una relació euclídea dreta al seu ranc és sempre reflexiva,[6] i per lo tant una equivalència. Análogament, el domini d'una relació euclídea esquerra és un subconjunt del seu ranc, i la restricció d'una relació euclídea esquerra al seu domini és una equivalència. Per tant, una relació euclídea dreta sobre X que siga també total dreta (respectivament una relació euclídea esquerra sobre X que siga també total esquerra) és una equivalència, ya que el seu ranc (respectivament el seu domini) és X.[7]
  1. Una relació R és al mateix temps euclídea esquerra i dreta, si, i només si, el conjunt domini i el conjunt ranc de R coincidixen, i R és una relació d'equivalència sobre eixe conjunt.[8]
  2. Una relació euclidiana dreta és sempre cuasitransitiva,[9] com és una relació euclídea esquerra.[10]
  3. Una relació euclídea dreta connected sempre és transitiva;[11] i per tant és una relació euclídea esquerra conexa.[12]
  4. Si X té a lo manco 3 elements, una relació euclídea dreta conexa R sobre X no pot ser antisimètrica,[13] i tampoc pot una relació euclidiana esquerra conectada en X.[14] En el conjunt de 2 elements X = { 0, 1 }, i. g. la relació xRy definida per i=1 és conexa, euclídea dreta i antisimètrica, i xRy definida per x=1 és conexa, euclídea esquerra i antisimètrica.
  5. Una relació R sobre un conjunt X és euclídea dreta si, i només si, la restricció R′ := R|ran(R) és una equivalència i per a cada x en X

an(R), tots els elements en els que x està relacionada baix R són equivalents baixe R′.[15] Análogament, R en X és euclídea esquerra si, i només si, R′ := R|dom(R) és una equivalència i per a cada x en Xdom(R), tots els elements que estan relacionats en x baixe R són equivalents baixe R′.

  1. Una relació euclidiana esquerra és esquerra-única si, i només si, és antisimètrica. Análogament, una relació euclídea dreta és única dreta si, i només si, és antisimètrica.
  2. Una relació euclídea esquerra i única esquerra és transitiva vacua, i també ho és una relació euclídea dreta i única dreta.
  1. Una relació euclídea esquerra és cuasi-reflexiva esquerra. Per a les relacions úniques per l'esquerra, l'inversa també és vàlida. A la seua volta, cada relació euclidiana dreta és cuasi-reflexiva dreta, i cada relació única dreta i cuasi-reflexiva dreta és euclidiana dreta.[16]

Notes i referències

[editar | editar còdic]
  1. ↑ 1,0 1,1 (2003).«Reasoning About Knowledge».MIT Press..
  2. ↑ i.g. 0 ≤ 2 i 0 ≤ 1, pero no 2 ≤ 1
  3. ↑ i.g. 2R1 i 1R0, pero no 2R0
  4. ↑ xRy i xRx implica yRx.
  5. ↑ L'igualtat de domini i ranc no és necessària: la relació xRy definida per i=min{x,2} és euclídea dreta sobre els número natural, i el seu ranc, {0,1,2}, és un subconjunt propi del seu domini dels número natural.
  6. ↑ Si i està en el ranc de R, llavors xRy ∧ xRy implica yRy, per a algun x adequat. Açò també demostra que i està en el domini de R.
  7. ↑ (1967).«Una definició alternativa per a les relacions d'equivalència».The Mathematics Teacher.60.
  8. ↑ El sentit només si es deduïx del paràgraf anterior. Per al sentit si, supongam aRb i aRc, llavors a, b, c són membres del domini i del ranc de R, per tant bRc per simetria i transitividad; la euclidiana esquerra de R es deduïx de forma similar.
  9. ↑ Si xRy ∧ ¬yRx ∧ yRz ∧ ¬zRy es complix, llavors tant i com z estan en el ranc de R. Com a R és una equivalència en eixe conjunt, yRz implica zRy. Per tant, l'antecedent de la fòrmula de definició de cuasi transitividad no pot satisfer-se.
  10. ↑ Un argument similar s'aplica, observant que x, i estan en el domini de R.
  11. ↑ Si xRy ∧ yRz es complix, llavors i i z estan en el domini de R. Com a R és conexo, xRz o zRx o x=z es complix. En el cas 1, no queda res per demostrar. En els casos 2 i 3, també x està en l'interval. Per tant, xRz es deduïx de la simetria i reflexividad de R sobre el seu ranc, respectivament.
  12. ↑ Similar, usant que x, i estan en el domini de R.
  13. ↑ Ya que R és conexa, a lo manco dos elements distints x, i estan en la seua ranc, i xRy ∨ yRx es complix. ya que R és simètrica en el seu ranc, inclús xRy ∧ yRx es complix. Açò contradiu la propietat de antisimetría.
  14. ↑ Per un argument similar, utilisant el domini de R.
  15. ↑ Només si: R{prime}} és una equivalència com es mostra dalt. Si x∈X an(R) i xR′i1 i xR{prime}}i2, llavors i1Ry2 per dret euclidiano, per lo tant i1R′i2. — Si: si xRy ∧ xRz es complix, llavors i,z ∈ran(R). En el cas també x∈ran(R), inclús xR′i ∧ xR′z es complix, per lo tant yR′z per simetria i transitividad de R′, per lo tant yRz. En el cas de que x∈X an(R), els elements i i z deuen ser equivalents baixe R′ per suposició, d'ahí també yRz.
  16. ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas». Lemma 44-46.


Referències

[editar | editar còdic]


Obtingut de «https://www.lenciclopedia.org/w/index.php?title=Relació_euclidiana&oldid=819190»