Constructivisme (matemàtica)

En filosofia de les matemàtiques, el constructivisme o escola constructivista requerix per a la prova de l'existència d'un objecte matemàtic, que este puga ser trobat o «construït». Per a esta escola no és suficient la prova per contradicció clàssica (reducció a l'absurt) que consistix en supondre que un objecte X no existix i partint d'esta premissa derivar una contradicció. Segons els constructivista tal procediment no permet trobar l'objecte estudiat i en conseqüència la seua existència no està realment provada. La posició oposta es denomina platonisme matemàtic.

Es confon freqüentment el constructivisme en l'intuicionismo quan en realitat este últim no és sino un tipo de constructivisme. Per al intuicionismo, les bases fonamentals de les matemàtiques es troben en lo que denominen l'intuïció matemàtica, fent en conseqüència d'esta una activitat instrínsecamente subjectiva. El constructivisme no adopta en general dita postura i és completament compatible en la concepció objectiva de les matemàtiques.

Erret Bishop va propondre el constructivisme a partir de les sugerències de Brouwer i Márkov, pero modificant algunes percepcions dels autors mencionats de tal manera que la proposta constructivista resulta més restrictiva que les sugerències de Brouwer i Márkov pero, al mateix temps, conseguix que totes les seues teoremes resulten compatibles tant en eixes sugerències com en les de la matemàtica clàssica, cosa que no ocorre en les atres dos. Bishop conseguix esta flexibilitat a través de no definir lo que crida "rutines finitas" (algoritmes) que constituïxen el procés de demostració. Si ben açò sembla introduir una certa falta de precisió, força a els qui practiquen esta aproximació a utilisar estrictament la llògica intuicionista. Sembla ser que utilisar tal llògica equival a practicar matemàtica algorítmica formal. Si això fora el cas, l'aproximació intuicionista podria ser implementada en relació en qualsevol objecte matemàtic, no solament eixa classe especial de «objectes constructius».

El constructivisme critica el formalisme dut fins a l'extrem pel grup de matemàtics cridat Nicolas Bourbaki, admet la successió dels número natural, mes no el conjunt dels naturals, qüestionen la llògica en que es fonamenta la matemàtica de Bourbaki i proclama la tercera opció respecte del principi del tercer exclós (a més de p i p, cap una atra eixida).

Aspectes fonamentals

El constructivisme se servix de la llògica constructivista, que en essència no és sino la llògica clàssica sense el principi del tercer exclós. Açò no vol dir no obstant que la seua utilisació s'excloga per complet ya que en casos especials pot ser amprat, com en l'eixemple de les proposicions sense quantificadors de l'aritmètica de Heyting. Lo que açò vol dir és que tal principi no es considera com un axioma. Per una atra part, la llei de no-contradicció conserva tota la seua validea. En el mateix sentit, les proposicions que es restringixen a objectes finitos poden ser categorizadas o be com a verdaderes o be com a falses, tal com succeïx en les matemàtiques clàssiques, pero esta categorisació bivalente no s'estén a proposicions referides a coleccions infinites.

Para Luitzen Egbertus Jan Brouwer, el fundador de la corrent intuicionista, el principi del tercer exclós és una abstracció que resulta de l'experiència respecte d'objectes finitos i que es va estendre a aquells infinits sense justificació. Per eixemple, si considerem la Conjectura de Goldbach, tot número par major que 2 pot expressar-se com la suma de dos número primo i és possible de comprovar, per a un número determinat, si aixina succeïx o no. Fins ara, tots els números investigats han verificat dita propietat.

Pero no existix cap prova que açò succeïxca per a tots els números com aixina tampoc cap prova de que la conjectura no es verifique per a tots els números. Pese a que no pot descartar-se que la conjectura aplegue algun dia a demostrar-se en un sentit o un atre, segons Brouwer no és llegítim afirmar:

La Conjectura de Goldbach és verdadera o be no és verdadera.

Este argument s'aplica a tots els problemes similars encara no resolts. Per a Brouwer, acceptar la llei del tercer exclós equival a supondre que tot problema matemàtic posseïx una solució.

En el rebuig del principi del tercer exclós mentres que axioma, el remanente del sistema llògic té una propietat d'existència de la qual carix el sistema tradicional: cada volta que

${\mathrm{\exists }}_{x\in X}P(x)$ es pot provar de manera constructiva

en realitat $P(a)$ es pot provar (a lo manco) per a un particular

$a\in X$.

De tal manera; la prova de l'existència d'un objecte matemàtic queda lligada a la possibilitat de la seua construcció.

Vore també

• Platonisme matemàtic
• Realisme filosòfic