Relació de congruència

En àlgebra abstracta, una relació de congruència (o simplement congruència) és una relació d'equivalència definida sobre una estructura algebraica (com un grup, anell o espai vectorial) que és compatible en l'estructura en el sentit de que les operacions algebraiques realisades en elements equivalents produiran elements equivalents. Cada relació de congruència té una estructura de cocient corresponent, els elements del qual són les classes d'equivalència (o classes de congruència) per a la relació.

Eixemple bàsic

L'eixemple prototípico d'una relació de congruència és el mòdul de congruència $n$ en el conjunt dels número entero. Per a un número entero positiu donat $n$ , atres dos sancers $a$ i $b$ es diuen congruents de mòdul $n$, escrit

$a\equiv b(\mathrm{mod}n)$

si $a-b$ és divisible per $n$ (o equivalentement, si $a$ i $b$ tenen el mateix restant quan es dividixen per $n$).

Per eixemple, $37$ i $57$ són congruents mòdul $10$ ,

$37\equiv 57(\mathrm{mod}10)$

ya que $37-57=-20$ és un múltiple de 10, o equivalentement, ya que tant $37$ com $57$ tenen un restant de $7$ quan es dividixen per $10$ .

El mòdul de congruència $n$ (per a un $n$ fix) és compatible tant en la suma com en la multiplicació entre sancers. És dir,

si

$a_1\equiv a_2(\mathrm{mod}n)$ i $b_1\equiv b_2(\mathrm{mod}n)$

després

$a_1+b_1\equiv a_2+b_2(\mathrm{mod}n)$ i $a_1{b}_1\equiv a_2{b}_2(\mathrm{mod}n)$

La corresponent suma i multiplicació de classes d'equivalència es coneix com aritmètica modular. Des del punt de vista de l'àlgebra abstracta, el mòdul de congruència $n$ és una relació de congruència en l'anell dels número entero i el mòdul aritmètic $n$ es verifica en l'anelle cocient corresponent.

Definició

La definició d'una congruència depén del tipo d'estructura algebraica en consideració. Es poden fer definicions particulars de congruència per a grups, anells, espais vectorials, mòduls, semigrupos o retículs. El tema comú és que una congruència és una relació d'equivalència en un objecte algebraic que és compatible en l'estructura algebraica, en el sentit de que les operacions estan ben definides en les classes d'equivalència.

Per eixemple, un grup és un objecte algebraic que consistix en un conjunt junt en una sola operació binaria, que satisfà certs axioma. Si $G$ és un grup en l'operació $\ast$, una relació de congruència en $G$ és una relació d'equivalència $\equiv$ entre els elements de $G$ satisfent que

$g_1\equiv g_2$ i $h_1\equiv h_2⟹g_1\ast h_1\equiv g_2\ast h_2$

per a tot $g_1$, $g_2$, $h_1$, $h_2\in G$. Per a una congruència en un grup, la classe d'equivalència que conté l'element identitat és sempre un subgrup normal, i les atres classes d'equivalència són les classes laterals d'este subgrup. Juntes, estes classes d'equivalència són els elements d'un grup cocient.

Quan una estructura algebraica inclou més d'una operació, es requerix que les relacions de congruència siguen compatibles en cada operació. Per eixemple, un anell posseïx suma i multiplicació, i una relació de congruència en un anell deu satisfer

$r_1+s_1\equiv r_2+s_2\text{ and }{r}_1{s}_1\equiv r_2{s}_2$

quan $r_1\equiv r_2\text{ and }{s}_1\equiv s_2$ . Per a una congruència en un anell, la classe d'equivalència que conté 0 és sempre un ideal de dos costats, i les dos operacions en el conjunt de classes d'equivalència definixen l'anell cocient corresponent.

La noció general d'una relació de congruència pot tindre una definició formal en el context del àlgebra universal, un camp que estudia idees comunes a totes les estructures algebraiques. En este context, una relació de congruència és una relació d'equivalència $\equiv$ en una estructura algebraica que satisfà

$\mu (a_1\text{, }{a}_2\text{, }\dots \text{, }{a}_n)\equiv \mu ({a_1}^{\prime }\text{, }{a_2}^{\prime }\text{, }\dots \text{, }{a_n}^{\prime })$

per a cada operació $n$-ària $\mu$ i tots els elements $a_1\text{, }\dots \text{, }{a}_n\text{, }{a_1}^{\prime }\text{, }\dots \text{, }{a_n}^{\prime }$ tals que $a_i\equiv {a_i}^{\prime }$ per a cada $i=1,\mathrm{...},n.$