Anar al contingut

Estadística matemàtica

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià
Ilustració d'una regressió llineal en un conjunt de senyes. l'anàlisis de regressió és una part important de l'estadística matemàtica.

La estadística matemàtica és l'escala prèvia en l'estudi de l'estadística des d'un punt de vista purament formal, aplicant la teoria de la provabilitat i atres branques de la matemàtica tals com àlgebra llineal, anàlisis matemàtic, anàlisis estocàstic, equacions diferencials i la teoria de les mides.[1][2] L'estadística matemàtica tracta de l'obtenció d'informació a partir de les senyes. En la pràctica tals senyes contenen certa aleatoriedad o incertitut. L'estadística treballa en estes senyes usant els métodos de la teoria de la provabilitat.

Introducció

[editar | editar còdic]

La recolecció de senyes estadístiques té que vore en la planificació d'estudis, especialment en el disseny d'experiments aleatoris i en la planificació d'enquestes per mig de mostreig aleatori. L'anàlisis inicial de les senyes sol seguir el protocol de l'estudi especificat abans de la seua realisació. Les senyes d'un estudi també poden analisar-se per a considerar hipòtesis secundàries inspirades en els resultats inicials, o per a sugerir nous estudis. Un anàlisis secundari de les senyes d'un estudi planificat utilisa ferramentes del anàlisis de senyes, i el procés per a fer-ho és l'estadística matemàtica.

L'estadística matemàtica es dividix en:

  • Estadística descriptiva: part que s'encarrega de descriure les senyes, açò és, de realisar un resum i descriure les seues propietats típiques.
  • Inferència estadística: part que elabora conclusions a partir d'una mostra de les senyes (utilisant un model per a les senyes), en atres paraules, comprova l'ajust de les senyes a determinades condicions d'un model concret i proporciona una mida de la bondat dels mateixos en térmens provabilístics (per eixemple, per mig d'intervals de confiança).

L'estadística matemàtica és la base teòrica per a moltes pràctiques en l'estadística aplicada.

Encara que les ferramentes d'anàlisis de senyes funcionen millor en senyes procedents d'estudis aleatoris, també s'apliquen a atres tipos de senyes. Per eixemple, a partir d'experiments naturals i estudis observacionals, en el cas dels quals l'inferència depén del model elegit per l'estadístic, i és tan subjectiva.[3][4]

Temes

[editar | editar còdic]

A continuació s'enumeren alguns dels temes importants de l'estadística matemàtica:[5][6]

Distribucions de provabilitat

[editar | editar còdic]
Artícul principal → Distribució de provabilitat.

Una distribució de provabilitat és una funció que assigna una provabilitat a cada subconjunt mesurable dels possibles resultats d'un experiment aleatori, enquesta o procediment d'inferència estadística. Els eixemples es troben en experiments que el seu espai mostral no és numèric, a on la distribució seria una distribució categòrica; experiments l'espai mostral dels quals està codificat per variables aleatòries discretes, a on la distribució pot especificar-se per mig d'una funció de massa de provabilitat; i experiments en espais mostrals codificats per variables aleatòries contínues, a on la distribució pot especificar-se per mig d'una funció de densitat de provabilitat. Els experiments més complexos, com els que impliquen processos estocàstics definits en temps continu, poden exigir l'us de medides de provabilitat més generals.

Una distribució de provabilitat pot ser univariante o multivariante. Una distribució univariante dona les provabilitats de que una única variable aleatòria prenga varis valors alternatius; una distribució multivariante (una distribució de provabilitat conjunta) dona les provabilitats de que un vector aleatori (un conjunt de dos o més variables aleatòries) prenga vàries combinacions de valors. Les distribucions de provabilitat univariantes més importants i freqüents són la distribució binomial, la distribució hipergeométrica i la distribució normal. La distribució normal multivariante és una distribució multivariante freqüent.

Distribucions especials

[editar | editar còdic]

Inferència estadística

[editar | editar còdic]
Artícul principal → Estadística inferencial.

l'inferència estadística és el procés d'extraure conclusions a partir de senyes subjectes a variacions aleatòries, per eixemple, errors d'observació o variacions de mostreig.[7] Els requisits inicials d'un sistema de procediments d'inferència i inducció d'este tipo són que el sistema produïxca respostes raonables quan s'aplique a situacions ben definides i que siga lo suficientment general com per a poder aplicar-se a toda una serie de situacions. L'estadística inferencial s'utilisa per a contrastar hipòtesis i realisar estimacions a partir de senyes mostrals. Mentres que les estadístiques descriptivas descriuen una mostra, les estadístiques inferenciales infieren prediccions sobre una població major a la que representa la mostra.

El resultat de l'inferència estadística pot ser una resposta a la pregunta "¿qué es deuria fer a continuació?", que pot consistir en una decisió sobre la realisació de nous experiments o enquestes, o en extraure una conclusió abans d'aplicar alguna política organisativa o governamental.

En la seua major part, l'inferència estadística formula proposicions sobre poblacions, utilisant senyes extretes de la població d'interés per mig d'alguna forma de mostreig aleatori. En térmens més generals, les senyes sobre un procés aleatori s'obtenen a partir del seu comportament observat durant un periodo de temps finito. Donat un paràmetro o hipòtesis sobre el que es desija fer una inferència, l'inferència estadística sol utilisar lo següent:

  • Un model provabilístic del procés aleatori que se supon que genera les senyes, que es coneix quan s'ha utilisat la aleatorización.
  • Una realisació concreta del procés aleatori, és dir, un conjunt de senyes.

Regressió

[editar | editar còdic]
Artícul principal → Anàlisis de la regressió.

En estadística, l'anàlisis de regressió és un procés estadístic per a estimar les relacions entre variables. Inclou moltes formes de modelizar i analisar vàries variables, quan l'atenció se centra en la relació entre una variable depenent i una o més variables independents. Més concretament, l'anàlisis de regressió ajuda a comprendre cóm canvia el valor típic de la variable depenent (o "variable criteri") quan varia qualsevol de les variables independents, mentres que les demés variables independents es mantenen fixes. Lo més habitual és que l'anàlisis de regressió estime l'expectativa condicional de la variable depenent en funció de les variables independents, és dir, el valor mig de la variable depenent quan es fixen les variables independents. En menys freqüència, l'atenció se centra en un cuantil o un atre paràmetro d'ubicació de la distribució condicional de la variable depenent donades les variables independents. En tots els casos, l'objectiu de l'estimació és una funció de les variables independents denominada funció de regressió. En l'anàlisis de regressió, també interessa caracterisar la variació de la variable depenent entorn a la funció de regressió, que pot descriure's per mig d'una distribució de provabilitat.


S'han desenrollat moltes tècniques per a portar a terme l'anàlisis de regressió. Els métodos coneguts, com la regressió llineal, són paramètrics, en el sentit de que la funció de regressió es definix en térmens d'un número finito de paràmetros desconeguts que s'estimen a partir dels senyes (per eixemple, utilisant mínims quadrats ordinaris). La regressió no paramètrica fa referència a les tècniques que permeten que la funció de regressió es trobe en un conjunt específic de funcions, que pot ser de dimensió infinita.

Estadística no paramètrica

[editar | editar còdic]
Artícul principal → Estadística no paramètrica.

Les estadístiques no paramètriques són valors calculats a partir de senyes d'una forma que no es basa en famílies parametrizadas de distribucions de provabilitat. Inclouen tant estadístiques descriptivas com inferenciales. Els paràmetros típics són les expectatives, la varianza, etc. A diferència de l'estadística paramètrica, l'estadística no paramètrica no fa suposicions sobre les distribucions de provabilitat de les variables que s'evaluen.[8]

Els métodos no paramètrics s'utilisen molt per a estudiar poblacions que adopten un orde jeràrquic (com les crítiques de películes que reben d'una a quatre estreles). L'us de métodos no paramètrics pot ser necessari quan les senyes tenen un rànquing pero no una interpretació numèrica clara, com quan s'evaluen les preferències. En térmens de nivells de mida, els métodos no paramètrics donen lloc a senyes "ordinals".

Com els métodos no paramètrics fan menys suposicions, la seua aplicabilidad és molt més àmplia que la dels métodos paramètrics corresponents. En concret, poden aplicar-se en situacions en les que se sap menys sobre l'aplicació en qüestió. Ademés, en basar-se en menys suposts, els métodos no paramètrics són més robusts.

Un inconvenient dels métodos no paramètrics és que, al no basar-se en suposicions, solen ser menys potents que els seus homòlecs paramètrics.[9] Les proves no paramètriques de baixa potència són problemàtiques perque un us comú d'estos métodos és para quan una mostra té un tamany de mostra baix.[9] S'ha demostrat que molts métodos paramètrics són les proves més potents a través de métodos com el lema de Neyman-Pearson i la prova del cocient de verosimilitut.

Una atra justificació de l'us de métodos no paramètrics és la simplicitat. En alguns casos, inclús quan l'us de métodos paramètrics està justificat, els métodos no paramètrics poden ser més fàcils d'utilisar. Degut tant a esta simplicitat com a la seua major robustea, alguns estadístics consideren que els métodos no paramètrics deixen menys marge per a un us inadequat i un malentés.

Vore també

[editar | editar còdic]

Referències

[editar | editar còdic]
  1. ↑ (2002) Handbook of stochastic analysis and applications (en en), Nova York: M. Dekker. ISBN 0824706609.
  2. ↑ Schervish, Mark J. (1995). Theory of statistics, Corr. 2nd print. edició (en en), Nova York: Springer. ISBN 0387945466.
  3. ↑ Cambridge University Press.
  4. ↑ Freedman, David A. (2010). Statistical Models and Causal Inference: A Dialogue with the Social Sciences (en en), Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-12390-7.
  5. ↑ Hogg, R. V.; Craig, {{{nom2}}}; McKean, J. W. (2005). Intro to Mathematical Statistics (en en).
  6. ↑ Larsen, Richard J.; Marx, {{{nom2}}} (2012). An Introduction to Mathematical Statistics and Its Applications (en en), Prentice Hall.
  7. ↑ Upton, G.; Cook, {{{nom2}}} (2008). Oxford Dictionary of Statistics (en en), OUP. ISBN 978-0-19-954145-4.
  8. ↑ «Research Nonparametric Methods» (en en). Carnegie Mellon University.
  9. ↑ 9,0 9,1 «Nonparametric Tests» (en en). sphweb.bumc.bu.edu. Consultat el 2024-06-17.

Bibliografia

[editar | editar còdic]
  • Borovkov, A. A. Estadística matemàtica, Editorial Mir, Moscou, 1984.

García Nogales, Agustín, Estadística matemàtica, Publicacions de l'Universitat d'Extremadura.

Llectures adicionals

[editar | editar còdic]
  • Alekseevich Borovkov (1999). Mathematical Statistics (en en), CRC Press. ISBN 90-5699-018-7.
  • Ray; Sharma, Har Swarup (1966). Mathematical Statistics (en en), Ram Prasad & Sons. ISBN 978-9383385188.
  • StatiBot, sistema expert interactiu en llínea sobre proves estadístiques (en anglés).


Obtingut de «https://www.lenciclopedia.org/w/index.php?title=Estadística_matemàtica&oldid=826219»