Càlcul estocàstic

El càlcul estocàstic és una branca de les matemàtiques que opera en els processos estocàstics i les equacions diferencials estocàstiques. El càlcul estocàstic constituïx una teoria coherent d'integració, que generalisa l'integració de Stieljes-Lebesgue, i permet definir de manera rigorosa integrals dels processos estocàstics sobre atres processos estocàstics. S'utilisa per a modelar sistemes que es comporten de forma aleatòria.

Introducció

El procés estocàstic més conegut dels quals càlcul estocàstic s'aplica és el procés de Wiener (nomenat en honor de Norbert Wiener), que s'utilisa per a modelar el moviment browniano com es descriu per Louis Bachelier en 1900 i per Albert Einstein en 1905 i atres processos de difusió física en l'espai de partícules subjectes a forces aleatòries. Des de la década de 1970, el procés de Wiener s'ha aplicat àmpliament en les matemàtiques financeres i l'economia per a modelar l'evolució en el temps dels preus de les accions i les taxes d'interés d'abonaments.

Els principals sabors de càlcul estocàstic són el càlcul de Itô i el seu parent el càlcul variacional de Malliavin. Per raons tècniques l'integral de Itō és el més útil per a les classes generals dels processos, pero l'integral de Stratonovich relacionat és en freqüència útil en la formulació del problema (en particular en les disciplines d'ingenieria.) L'integral Stratonovich fàcilment es pot expressar en térmens de l'integral de Itō. El principal benefici de l'integral Stratonovich és que obedix a la regla de la cadena de costum i per lo tant no requerix el lema de Itō. Açò permet als problemes que s'expressen en una forma invariante sistema de coordenades, que té un valor incalculable en el desenroll de càlcul estocàstic en varietats distintes de R_n. El teorema de la convergència dominada no es manté per a l'integral Stratonovich, en conseqüència, és molt difícil de provar els resultats sense re-expressió de les integrals en forma de Itō.

Integral de Itō

AP l'integral del Itō és central per a l'estudi de càlcul estocàstic. L'integral:

$X_t=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{H}_{\tau }d{W}_{\tau }$

es definix per a un semimartingala W_t i llimitada localment procés predible H. És dir, W_t serà un procés estocàstic (una colecció de variables aleatòries indexades sobre t) de valor esperat zero. Esta integral generalisa l'integral de Riemann-Stieltjes, sent ara W_t no una funció mensurable ordinària sino un procés de Wiener.

L'integral de Itō pot definir-se de manera similar a l'integral de Riemann-Stieltjes, que és el llímit provabiliste d'una sumixca de Riemann, dit llímit no existix en general en térmens de camins. Si {π_n} és una successió de particions de l'interval [0, t] en el diàmetro de l'element més gran de la partició tendint a zero, llavors l'integral de Itō de H sobre el procés browniano W_t ve donada pel llímit:

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}{H}_t\text{d}{W}_t=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{[t_{i-1},t_i]\in {\pi }_n}{H}_{t_{i-1}}(W_{t_i}-W_{t_{i-1}})$

Pot demostrar-se que este llímit convergix en provabilitat.

Vore també

• Càlcul de Itô

Referències

Bibliografia

• Fima C Klebaner, 2012, Introduction to Stochastic Calculus with Application (3rd Edition). World Scientific Publishing, ISBN 9781848168312
• Sanz-Solé, Marta. Malliavin calculus with applications to stochastic partial differential equations. EPFL press, 2005.
• Szabados & Balázs, 2009, Stochastic integration based on simple, symmetric random walks