Càlcul variacional de Malliavin

El càlcul variacional de Malliavin, nomenat aixina per Paul Malliavin, generalisa el càlcul de variacions de funcions a processos estocàstics. El càlcul variacional de Malliavin també es denomina càlcul variacional estocàstic. En particular, permet definir la definició de la derivada d'una variable aleatòria.

Les idees de Malliavin varen dur a una demostració de que la condició de Hörmander implica l'existència d'una densitat de provabilitat suau per a la solució d'una equació diferencial estocàstica. La demostració original de L. Hörmander es basava en la teoria d'equacions en derivades parcials. El càlcul de Malliavin ha segut aplicat també a les equacions diferencials estocàstiques en derivades parcials.

El càlcul de Malliavin permet definir l'integració per parts de variables aleatòries, esta operació s'usa en matemàtica financera per a calcular les sensibilitats de la derivada financera. Ademés el càlcul de Malliavin ha trobat algunes aplicacions, per eixemple, en el filtrat estocàstic.

Panorama general i història

El càlcul estocàstic de Paul Malliavin generalisa com s'ha dit el càlcul de variacions. Només que en lloc de resoldre un problema variacional sobre un espai de funcions ho fa sobre un espai de processos estocàstics

Principi d'invariancia

El principi d'invariancia usual per a l'integral de Lebesgue sobre la recta real és que, per a qualsevol número real ε i qualsevol funció integrable f, la següent condició es complixca:

Açò pot usar-se per a deduir una fòrmula d'integració per parts, triant f = gh i diferenciándloa sobre ε en abdós térmens, lo que implica

Una idea pareguda pot aplicar-se en anàlisis estocàstic per a la diferenciació a lo llarc d'una direcció de Cameron-Martin-Girsanov. De fet, si $h_s$ és un procés predible i quadrat integrable, es definix:

Sent $X$ un procés de Wiener, el teorema de Girsanov llavors implica el següent anàlec del principi d'invariancia:

Diferenciant sobre ε en abdós membres i evaluant en ε=0, s'obté la següent fòrmula d'integració per parts:

Ací, el terme de l'esquerra és la derivada de Malliavin de la variable aleatòria $F$ en la direcció $\phi$ i l'integral que apareix a la dreta deu ser interpretada com una integral de Itō. Esta expressió també resulta certa (per definició) si $h$ no està adaptat, ya que el membre de la dreta s'interpreta com una integral de Skorokhod.^{cita requerida}

Fòrmula de Clark-Ocone

AP Un dels resultats més útils del càlcul variacional de Malliavin és el teorema de Clark-Ocone, que permet identificar explícitament el procés involucrat en el teorema de representació de martingales. Una versió simple d'esta teorema afirma que:

Açò pot ser reexpresado de manera concisa per mig de:

Molt de treball en el desenroll forma del càlcul variacional de Malliavin involucra estendre este resultat a la classe més gran possible de funcionals F, reemplaçant la derivada del núcleu usat anteriorment per la "derivada" de Malliavin denotada com $D_t$ en l'exposició del resultat anterior.

Referències

Bibliografia

• Kusuoka, S. and Stroock, D. (1981) "Applications of Malliavin Calculus I", Stochastic Analysis, Proceedings Taniguchi International Symposium Katata and Kyoto 1982, pp 271–306
• Kusuoka, S. and Stroock, D. (1985) "Applications of Malliavin Calculus II", J. Faculty Sci. Uni. Tòquio Sect. 1A Math., 32 pp 1–76
• Kusuoka, S. and Stroock, D. (1987) "Applications of Malliavin Calculus III", J. Faculty Sci. Univ. Tòquio Sect. 1A Math., 34 pp 391–442

• Malliavin, Paul and Thalmaier, Anton. Stochastic Calculus of Variations in Mathematical Finance, Springer 2005, ISBN 3-540-43431-3
• Bell, Denis. (2007) The Malliavin Calculus, Dover. ISBN 0-486-44994-7
• Schiller, Alex (2009) Malliavin Calculus for Monte Carlo Simulation with Financial Applications. Thesis, Department of Mathematics, Princeton University
• Øksendal, Bernt K..(1997) An Introduction To Malliavin Calculus With Applications To Economics. Lecture Notes, Dept. of Mathematics, University of Oslo (Zip file containing Thesis and addendum)

Vaig donar Nunno, Giulia, Øksendal, Bernt, Proske, Frank (2009) "Malliavin Calculus for Lévy Processes with Applications to Finance", Universitext, Springer. ISBN 978-3-540-78571-2

Enllaços externs

• Lecture Notes, 43 pages
• Thesis, 100 pages