Lema de Neyman-Pearson

En estadística, el lema fonamental de Neyman-Pearson és un resultat que descriu el criteri òptim per a distinguir dos hipòtesis simples $H_0:\theta ={\theta }_0$ i $H_1:\theta ={\theta }_1$.

El lema deu el seu nom als seus dos creadors, Jerzy Neyman i Egon Pearson.

Proposició

Siga $X_1,X_2,\dots ,X_n$ una mostra aleatòria d'una població en funció de densitat $f(x;\theta )$ a on $\theta \in \Theta =\{{\theta }_0,{\theta }_1\}$ i siguen $0<\alpha <1$, $k\in {ℝ}^{+}$ i $𝒞$ tals que

1. $\mathrm{P}[𝐗\in 𝒞|H_0]=\alpha$
2. $\lambda =\frac{ℒ({\theta }_0)}{ℒ({\theta }_1)}=\frac{\prod _{i=1}^{n}f(x_i;{\theta }_0)}{\prod _{i=1}^{n}f(x_i;{\theta }_1)}\le k$ si $𝐱\in 𝒞$.
3. $\lambda >k$ si $𝐱\in {𝒞}^c$.

llavors la prova associada a $𝒞$ és una prova més potent per a provar $H_0:\theta ={\theta }_0$ contra $H_1:\theta ={\theta }_1$, és dir, $𝒞$ és la millor regió crítica.

Eixemple

Siga $X_1,X_2,\dots ,X_n$ una mostra aleatòria d'una població en distribució $N(\mu ,{\sigma }_0^2)$ a on ${\sigma }_0^2$ és coneguda. Considere

$\begin{array}{cc}{H}_0& :\mu ={\mu }_0\\ H_1& :\mu ={\mu }_1\\ \alpha \end{array}$

sent ${\mu }_0<{\mu }_1$.

En esta case la funció de verosimilitut és

$\begin{array}{cc}ℒ(x_1,\dots ,x_n;\mu ,{\sigma }_0^2)& =\prod _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_0^2}}\exp (-\frac{(x_i-\mu {)}^2}{2{\sigma }_0^2})\\ & ={\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_0^2}}\right)}^n\exp (-\frac{1}{2{\sigma }_0^2}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2)\end{array}$

pel lema de Neyman-Pearson

$\begin{array}{cc}\frac{{ℒ}_0}{{ℒ}_1}& =\frac{{\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_0^2}}\right)}^n\exp (-\frac{1}{2{\sigma }_0^2}\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_0{)}^2)}{{\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_0^2}}\right)}^n\exp (-\frac{1}{2{\sigma }_0^2}\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_1{)}^2)}\\ & =\exp (-\frac{1}{2{\sigma }_0^2}\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_0{)}^2+\frac{1}{2{\sigma }_0^2}\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_1{)}^2)\end{array}$

pero

$\begin{array}{cc}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2& =\sum _{i=1}^n(x_i^2-2\mu x_i+{\mu }^2)\\ & =\sum _{i=1}^n{x}_i^2-2\mu \sum _{i=1}^n{x}_i+n{\mu }^2\\ & =\sum _{i=1}^n{x}_i^2-2\mu n\overline{x}+n{\mu }^2\end{array}$

per lo que

$\begin{array}{cc}\frac{{ℒ}_0}{{ℒ}_1}& =\exp [-\frac{1}{2{\sigma }_0^2}(\sum _{i=1}^n{x}_i^2-2{\mu }_{0}n\overline{x}+n{\mu }_0^2-\sum _{i=1}^n{x}_i^2+2{\mu }_{1}n\overline{x}-n{\mu }_1^2)]\\ & =\exp [-\frac{1}{2{\sigma }_0^2}(2n\overline{x}({\mu }_1-{\mu }_0)+n({\mu }_0^2-{\mu }_1^2))]\\ & =\exp [\frac{n\overline{x}({\mu }_0-{\mu }_1)}{{\sigma }_0^2}-\frac{n({\mu }_0^2-{\mu }_1^2)}{2{\sigma }_0^2}]\le k_1\end{array}$

lo anterior implica

$\begin{array}{cc}& \frac{n\overline{x}({\mu }_0-{\mu }_1)}{{\sigma }_0^2}-\frac{n({\mu }_0^2-{\mu }_1^2)}{2{\sigma }_0^2}\le k_2=\ln (k_1)\\ & \frac{n\overline{x}({\mu }_0-{\mu }_1)}{{\sigma }_0^2}\le k_3=k_2+\frac{n({\mu }_0^2-{\mu }_1^2)}{2{\sigma }_0^2}\end{array}$

com ${\mu }_1>{\mu }_0$ llavors ${\mu }_0-{\mu }_1<0$ despuix

$\overline{x}\ge k=\frac{k_3{\sigma }_0^2}{n({\mu }_0-{\mu }_1)}$

per lo tant es rebuja $H_0$ si $\overline{x}\ge k$, és dir la regió de rebuig $𝒞$ queda descrita com

$𝒞=\{(X_1,X_2,\dots ,X_n):\overline{X}\ge k\}$