Esperança condicional

En teoria de la provabilitat, una esperança condicional d'una variable aleatòria (també conegut com a valor esperat condicional, mija condicional o expectativa condicional) és el valor esperat de dita variable respecte a una distribució de provabilitat condicional.

El concepte d'esperança condicional és extremadament important en la teoria de la mida d'Andréi Kolmogórov i en la teoria de provabilitats. De fet, el propi concepte de provabilitat condicional és en realitat definida en térmens d'esperança condicional. En el cas d'una variable aleatòria es definix sobre un espai de provabilitat discret i les "condicions" es prenen sobre una partició de dit espai de provabilitat. Esta definició es pot generalisar a qualsevol espai de provabilitat per mig de la teoria de la mida.

Introducció

Sean $X$ i $Y$ dos variables aleatòries discretes, el valor esperat condicional de $X$ dau el cas $Y=y$ és una funció de $y$ sobre el ranc de $Y$ definit com seguix

a on $𝒳$ és el ranc de $X$. Si $X$ és una variable aleatòria contínua, mentres que $Y$ seguix sent una variable discreta, el valor esperat condicional és:

a on $f_{X|Y}(\cdot |Y=y)$ és la densitat condicional de $X$ dau $Y=y$. Un problema sorgix quan $Y$ és contínua. En este cas, la provabilitat $P(Y=y)=0$ i la paradoxa de Borel-Kolmogorov demostra l'ambigüitat d'intentar definir provabilitat condicional a lo llarc d'estes llínees. No obstant, l'equació de la definició pot ser reorganisada com:

i encara que açò és trivial per a valors individuals de $y$ (ya que abdós costats són iguals a zero), es deu mantindre per a qualsevol subconjunt mesurable $B$ del domini de $Y$ que

De fet, esta és una condició suficient per a definir tant l'expectativa condicional com la provabilitat condicional.

Definició formal

Sean:

• $(\Omega ,ℱ,P)$ un espai de provabilitat,
• $X:\Omega \to {ℝ}^n$ una variable aleatòria en dit espai de provabilitat en esperança finita, és dir, $𝔼[|X|]<\mathrm{\infty }$, i
• $\mathscr{H}\subseteq ℱ$ una sub-$\sigma$-àlgebra de $ℱ$.

Com $\mathscr{H}$ és una sub $\sigma$-àlgebra de $ℱ$, la funció $X:\Omega \to {ℝ}^n$ no és, en general, $\mathscr{H}$-mesurable, per lo que no pot assumir-se l'existència d'integrals de la forma $\underset{H}{\int }XdP{|}_{\mathscr{H}}$, a on $H\in \mathscr{H}$ i $P{|}_{\mathscr{H}}$ és la restricció de $P$ a $\mathscr{H}$. No obstant, els promijos locals $\underset{H}{\int }XdP$ poden recuperar-se en $(\Omega ,\mathscr{H},P{|}_{\mathscr{H}})$ gràcies al concepte d'esperança condicional. Una esperança condicional de $X$ dau $\mathscr{H}$, denotada per $\mathrm{E}(X\mid \mathscr{H})$, és qualsevol funció $\mathscr{H}$-mesurable $\Omega \to {ℝ}^n$ que satisfaça

$\underset{H}{\int }\mathrm{E}(X\mid \mathscr{H})\mathrm{d}P=\underset{H}{\int }X\mathrm{d}P$

per a tot $H\in \mathscr{H}$.

L'existència de $\mathrm{E}(X\mid \mathscr{H})$ pot demostrar-se observant que ${\mu }^X:F\mapsto \underset{F}{\int }X\mathrm{d}P$ per a $F\in ℱ$ és una mida finita en $(\Omega ,ℱ)$ que és absolutament contínua respecte a $P$. Siga $h$ l'injecció natural de $\mathscr{H}$ a $ℱ$, llavors ${\mu }^X\circ h={\mu }^X{|}_{\mathscr{H}}$ és la restricció de ${\mu }^X$ a $\mathscr{H}$ i $P\circ h=P{|}_{\mathscr{H}}$ és la restricció de $P$ a $\mathscr{H}$. Ademés, ${\mu }^X\circ h$ és absolutament contínua respecte a $P\circ h$, ya que la condició

$P\circ h(H)=0⟺P(h(H))=0$

implica

${\mu }^X(h(H))=0⟺{\mu }^X\circ h(H)=0.$

Per tant, podem definir l'esperança condicionada de $X$ respecte a $\mathscr{H}$ com la derivada de Radon-Nikodym de la mida ${\mu }^X{|}_{\mathscr{H}}$ respecte a $P{|}_{\mathscr{H}}$ en $(\Omega ,\mathscr{H})$, és dir,

$\mathrm{E}(X\mid \mathscr{H}):=\frac{\mathrm{d}{\mu }^X{|}_{\mathscr{H}}}{\mathrm{d}P{|}_{\mathscr{H}}}=\frac{\mathrm{d}({\mu }^X\circ h)}{\mathrm{d}(P\circ h)},$

que satisfà la definició d'esperança condicional introduïda anteriorment.