Prova χ²

Distribució χ², mostrant χ² en l'eix x i el valor p (provabilitat de coa dreta) en l'eix i

En estadística i estadística aplicada es denomina prova χ² (pronunciat com «ji al quadrat» i a voltes com «chi al quadrat») a qualsevol prova en la que l'estadístic utilisat seguix una distribució χ² si la hipòtesis nula és certa. Alguns eixemples de proves χ² són:

• La prova χ² de Pearson, la qual té numeroses aplicacions:

• La prova χ² de freqüències
• La prova χ² d'independència
• La prova χ² de bondat d'ajust

• La prova χ² de Pearson en correcció per continuïtat o correcció de Yates
• La prova de Bartlett d'homogeneïtat d'varianza

La prova és vàlida quan l'estadística de la prova és distribuïda chi-quadrat baix la hipòtesis nula, específicament prova chi-quadrat de Pearson i variants de la mateixa. La prova ji-quadrat de Pearson s'utilisa per a determinar si existix una diferència estadísticament significativa entre la freqüència esperada i les freqüències observades en una o més categories d'una taula de contingència. Per a taules de contingència en tamanys de mostra més menuts, s'utilisa en el seu lloc una prova exacta de Fisher.

En les aplicacions estàndar d'esta prova, les observacions es classifiquen en classes mútuament excloents. Si la hipòtesis nula de que no hi ha diferències entre les classes de la població és certa, l'estadística de prova calculada a partir de les observacions seguix una χ² distribució de freqüències. El propòsit de la prova és evaluar qué provabilitat tindrien les freqüències observades suponent que l'hipòtesis nula és certa.

Els estadístics de prova que seguixen una distribució χ² ocorren quan les observacions són independents. També hi ha proves χ² per a provar l'hipòtesis nula d'independència d'un parell de variables aleatòries basades en observacions dels parells.

Proves chi-quadrat sol referir-se a proves per a les que la distribució de l'estadístic de prova s'aproxima a la distribució χ² asintóticamente, lo que significa que la distribució mostral (si l'hipòtesis nula és certa) de l'estadístic de prova s'aproxima cada volta més a una distribució chi-quadrat a mida que aumenten els tamanys de mostra.

Història

En el XIX, els métodos d'anàlisis estadístic s'aplicaven principalment en l'anàlisis de senyes biològics i era habitual que els investigadors assumiren que les observacions seguien una distribució normal, com Sir George Airy i Mansfield Merriman, els treballs de la qual varen ser criticats per Karl Pearson en el seu artícul de 1900.

A finals de el XIX, Pearson es va donar conte de l'existència d'una asimetria significativa en algunes observacions biològiques. Per a modelar les observacions independentment de que foren normals o biaixades, Pearson, en una série d'artículs publicats entre 1893 i 1916, va desenrollar la distribució de Pearson, una família de distribucions de provabilitat contínua, que inclou la distribució normal i numeroses distribucions biaixades, i va propondre un método d'anàlisis estadístic consistent en utilisar la distribució de Pearson per a modelar les observacions i realisar proves de bondat d'ajust per a determinar si un model s'ajusta a les observacions.

Prova chi-quadrat de Pearson

En 1900, Pearson va publicar un treball sobre la prova χ² el qual és considerat una de les pedres fundacionals de l'estadística moderna. En este treball, Pearson va investigar una prova de bondat d'ajust.

Suponent que es classifiquen n observacions d'una mostra aleatòria d'una població en k classes mútuament exclusives en número respectius observats x_i (para i = 1,2,…,k), i una hipòtesis nula de la provabilitat p_i que una observació es trobe dins de la classe i-ésima. Per lo que es tenen els números esperats m_i = np_i per a tot i, a on

$\begin{array}{cc}& \sum _{i=1}^k{p}_i=1\\ & \sum _{i=1}^k{m}_i=n\sum _{i=1}^k{p}_i=n=\sum _{i=1}^k{x}_i\end{array}$

Pearson va propondre que, baix l'hipòtesis de que l'hipòtesis nula és certa, en la mida que n → ∞ la distribució llímit de la cantitat indicada avall és la distribució χ².

$X^2=\sum _{i=1}^k\frac{(x_i-m_i{)}^2}{m_i}=\sum _{i=1}^k\frac{x_i^2}{m_i}-n$

Atres eixemples de proves chi-quadrat

Un test estadístic que seguix exactament una distribució chi-quadrat és la prova de que la varianza d'una població normalment distribuïda té un valor determinat basat en una varianza mostral. Este tipo de proves són poc comuns en la pràctica perque la verdadera varianza de la població sol ser desconeguda. No obstant, existixen vàries proves estadístiques en les que la distribució chi-quadrat és aproximadament vàlida:

Prova exacta de Fisher

Per a una prova exacta utilisada en lloc de la prova de chi-quadrat 2 × 2 per a l'independència, vejau Prova exacta de Fisher.

Prova binomial

Per a una prova exacta utilisada en lloc de la prova chi-quadrat 2 × 1 per a la bondat de l'ajust, vejau prova binomial.

Atres proves de chi al quadrat

• Prova de McNemar, utilisada en certes taules 2 × 2 en emparejamiento.
• Prova de aditividad de Tukey
• La Prova portmanteau en anàlisis de séries temporals, que prova la presència d'autocorrelación
• Prova de la raó de verosimilitut en modelización estadística general, per a comprovar si hi ha proves de la necessitat de passar d'un model simple a un atre més complicat (a on el model simple està anidado dins del complicat).

Correcció de Yates per a la continuïtat

Artícul principal → Correcció de Yates.

L'us de la distribució chi-quadrat per a interpretar l'estadística chi-quadrat de Pearson requerix que un assumixca que la discreta provabilitat de les freqüències binomiales observades en la taula pot ser aproximada per la distribució chi-quadrat contínua. Esta suposició no és del tot correcta i introduïx algun error.

Per a reduir l'error d'aproximació, Frank Yates va sugerir una correcció per continuïtat que ajusta la fòrmula de la prova de chi-quadrat de Pearson restant 0,5 a la diferència absoluta entre cada valor observat i el seu valor esperat en una taula de contingència 2 × 2. Açò reduïx el valor chi-quadrat obtingut i, per tant, aumenta el seu p-valor.

Prova de chi-quadrat per a la varianza en una població normal

Si es pren una mostra de tamany n d'una població que té una distribució normal, llavors hi ha un resultat (vore distribució de la varianza de la mostra) que permet realisar una prova de si la varianza de la població té un valor predeterminat. Per eixemple, un procés de fabricació podria haver estat en condició estable durant un llarc periodo, lo que va permetre determinar un valor per a la varianza essencialment sense error. Suponga que s'està provant una variant del procés, lo que dona lloc a una chicoteta mostra de n elements de producte la variació del qual es va a provar. L'estadístic de prova T en este cas, podria establir-se com la suma de quadrats de la mija de la mostra, dividida pel valor nominal de la varianza (és dir, el valor que es provarà com sostingut). Llavors T té una distribució chi-quadrat en n - 1 graus de llibertat. Per eixemple, si el tamany de la mostra és 21, la regió d'acceptació per a T en un nivell de significancia del 5% està entre 9,59 i 34,17.

Eixemple per a determinar si un dau està ben equilibrat

Desigem provar l'hipòtesis segons la qual un dau de sis cares no està manipulat, en un risc α = 0,05. L'hipòtesis que volem rebujar (a la que cridem hipòtesis nula i que senyalem $H_0$) és, per tant, la següent: “El dau està equilibrat”. Per a això, es llança el dau 600 voltes seguides. Si està equilibrat, esperaríem que d'estos 600 llançaments, cada número caiga 100 voltes. Supongam que el nostre experiment dona els següents resultats:

número que ix	1	2	3	4	5	6
número de voltes	88	109	107	94	105	97

és dir, vàrem obtindre 88 voltes el número 1, 109 voltes el número 2, etc.

Considerant l'hipòtesis nula com a verdadera, la variable T definida anteriorment val:

$\frac{(88-100{)}^2}{100}+\frac{(109-100{)}^2}{100}+\frac{(107-100{)}^2}{100}+\frac{(94-100{)}^2}{100}+\frac{(105-100{)}^2}{100}+\frac{(97-100{)}^2}{100}=3,44$.

El número de graus de llibertat és 6 – 1 = 5. Efectivament, 88 + 109 + 107 + 94 + 105 + 97 = 600

i si sabem, per eixemple, el número de voltes que obtenim els dígits de l'1 al 5, sabem la cantitat de voltes que obtenim el número 6: 600 – (88 + 109 + 107 + 94 + 105) = 97.

Per tant, la variable estadística T seguix la llei de χ2 en cinc graus de llibertat. Esta llei de χ2 dona el valor per baix del com considerem que el sorteig complix en un risc α = 0,05 : P(T < 11,07) = 0,95. Ya que 3,44 < 11,07, no podem rebujar l'hipòtesis nula: estes senyes estadístiques no nos permeten considerar que el dau estiga amañado.

Per un atre costat, supongam que el nostre experiment dona el següent resultat:

número que ix	1	2	3	4	5	6
número de voltes	89	131	93	92	104	91

En este cas la variable T definida anteriorment val:

$\frac{(89-100{)}^2}{100}+\frac{(131-100{)}^2}{100}+\frac{(93-100{)}^2}{100}+\frac{(92-100{)}^2}{100}+\frac{(104-100{)}^2}{100}+\frac{(91-100{)}^2}{100}=12,92$.

Ya que 12,92 > 11,07, esta volta podem rebujar l'hipòtesis nula: estes senyes estadístiques nos permeten considerar que el dau està amañado.

Eixemple de prova chi-quadrat per a senyes categòriques

Supongam que hi ha una ciutat d'1.000.000 d'habitants en quatre barris: A, B, C, i D. Es pren una mostra aleatòria de 650 residents de la ciutat i es registra la seua ocupació com a Treballadors de "coll blanc", de "coll blau" o "sense coll". L'hipòtesis nula és que el barri de residència de cada persona és independent de la seua classificació ocupacional. Les senyes es tabulan com:

	A	B	C	D	Total
de coll blanc	90	60	104	95	349
de coll blau	30	50	51	20	151
Ni coll blanc ni blau	30	40	45	35	150
Total	150	150	200	150	650

Prengam la mostra que viu en el barri A, 150, per a estimar qué proporció de tot l'1.000.000 viu en el barri A. De la mateixa manera, prenem Plantilla:Sfrac per a estimar qué proporció dels 1.000.000 són treballadors de coll blanc. Pel supòsit d'independència baix l'hipòtesis de que deuríem "esperar" el número de treballadors de coll blanc en el barri A a ser

$150\times \frac{349}{650}\approx 80.54$

Llavors en eixa "cela" de la taula, tenim

$\frac{{(\text{observado}-\text{esperado})}^2}{\text{esperado}}=\frac{{(90-80.54)}^2}{80.54}\approx 1.11$

La suma d'estes cantitats sobre totes les celes és l'estadístic de prova; en este cas, $\approx 24,57$. Baixe l'hipòtesis nula, esta suma té aproximadament una distribució chi-quadrat el número del qual de graus de llibertat és

$(\text{número de filas}-1)(\text{número de columnas}-1)=(3-1)(4-1)=6$

Si l'estadística de la prova és improbablemente gran segons eixa distribució chi-quadrat, llavors es rebuja l'hipòtesis nula d'independència.

Una qüestió relacionada és la prova d'homogeneïtat. Supongam que, en lloc de donar a cada resident de cada u dels quatre barris la mateixa oportunitat de ser inclós en la mostra, decidim de bestreta quants residents de cada barri anem a incloure. En eixe cas, cada resident té les mateixes possibilitats de ser elegit que tots els residents del mateix barri, pero els residents dels distints barris tindrien distintes provabilitats de ser elegits si els quatre tamanys de la mostra no són proporcionals a les poblacions dels quatre barris. En tal cas, estaríem provant la "homogeneïtat" en lloc de la "independència". La qüestió és si les proporcions d'obrers, empleats i no amprats en els quatre barris són les mateixes. No obstant, la prova es realisa de la mateixa manera.

Aplicacions

En el criptoanálisis, la prova chi-quadrat s'utilisa per a comparar la distribució del text pla i el text sifrat (possiblement) dessifrat. El valor més baix de la prova significa que el dessifrat va tindre èxit en alta provabilitat. Este método pot generalisar-se per a resoldre problemes criptográficos moderns.

En bioinformática, la prova de chi-quadrat s'utilisa per a comparar la distribució de certes propietats dels gens (per eixemple, el contingut genómico, la taxa de mutació, l'agrupació de rets d'interacció, etc.) pertanyents a diferents categories (per eixemple, gens de malalties, gens essencials, gens d'un determinat cromosoma, etc.).

Vore també

• Nomograma
• Estadística GEH
• Estadística no paramètrica
• Prova de Wald

Bibliografia

• Chi-Squared Test en MathWorld.
• Corder, G.W., Foreman, D.I. (2009).Nonparametric Statistics for Senar-Statisticians: A Step-by-Step Approach Wiley, ISBN 9780470454619
• Greenwood, P.I., Nikulin, M.S. (1996) A guide to chi-squared testing. Wiley, New York. ISBN 047155779X
• Nikulin, M.S. (1973) Chi-square test for normality. "International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics", v.2, 119–122.
• Nikulin, M.S. (1973) Chi-square test for continuous distributions with scale and shift parameters, "Theory of Probability and its Applications", v.18, #3, 559–568

Enllaços externs

• Chi-Square Calculator from GraphPad
• Chi-Square Test in QtiPlot
• Vassar College's 2×2 Chi-Square with Expected Values