Prova exacta de Fisher

La prova exacta de Fisher és una prova de significació estadística utilisada en l'anàlisis de taules de contingència. Encara que en la pràctica s'ampra quan els tamanys de mostra són menuts, també és vàlit per a tots els tamanys de mostra. Du el nom del seu inventor, Ronald Fisher, i és una d'una classe de proves exactes, cridades aixina perque el significat de la desviació de la hipòtesis nula es pot calcular en exactitut, en lloc de basar-se en una aproximació que es fa exactament en el llímit el tamany de la mostra creix fins a l'infinit, com en molts atres anàlisis estadístics. Fisher es diu que ha ideat la prova coneguda com la dòna assaborint té despuix d'un comentari de Muriel Bristol, que dia ser capaç de detectar si s'havien afegit primer el té o la llet en la seua tassa.

Objecte i àmbit d'aplicació

Archiu:Youngronaldfisher2. caps block 3

Ronald Fisher en 1913

La prova és útil per als senyes categòriques que resulten de classificar els objectes en dos formes diferents. S'utilisa per a examinar la significació de l'associació (de contingència) entre els dos tipos de classificació. Aixina en l'eixemple original de Fisher, un dels criteris de classificació podria ser si la llet o el té va ser posat en la tassa primer, i l'atre podria ser si Muriel Bristol pensa que la llet o el té es va posar primer. Volem saber si estes dos classificacions estan associats —és dir, si Bristol pugues realment dir si la llet o el té s'aboca primer—. La majoria dels usos de la prova de Fisher impliquen, com en este eixemple, una taula de contingència de 2×2. El valor de p de la prova es calcula com si els màrgens de la taula foren fixos, és dir, com si, en l'eixemple de degustació de té, Bristol sap el número de tasses en cada tractament (llet o té primer) i per lo tant proporcionarà conjectura en el número correcte en cada categoria. Com s'ha senyalat per Fisher, açò conduïx baix una hipòtesis nula d'independència a una distribució hipergeométrica dels números en les celes de la taula.

En mostres grans, es pot usar una prova de chi-quadrada (o millor encara, una prova G) en esta situació. No obstant, el valor de significació que proporciona és solament una aproximació, perque la distribució de mostreig de l'estadístic de prova que es calcula és solament aproximadament igual a la distribució teòrica de chi-quadrat. L'aproximació és inadequada quan els tamanys de mostra són menuts o les senyes es distribuïxen de forma molt desigual entre les celes de la taula, lo que fa que els recontes de cèlules pronosticats sobre l'hipòtesis nula (els "valors esperats") siguen baixos. La regla general per a decidir si l'aproximació chi-quadrat és lo suficientment bona és que la prova chi-quadrat no és adequada quan els valors esperats en qualsevol de les celes d'una taula de contingència estan per baix de 5 o per baix de 10 quan solament hi ha un grau de llibertat (ara se sap que esta regla és excessivament conservadora). De fet, per a senyes menudes, dispersos o desequilibrats, els valores p exactes i asintòtics poden ser prou diferents i poden dur a conclusions opostes sobre l'hipòtesis d'interés. En contrast, la prova exacta de Fisher és, com el seu nom ho indica, exacta sempre que el procediment experimental mantinga fixos els totals de files i columnes, i per lo tant pot usar-se independentment de les característiques de la mostra. Resulta difícil calcular en mostres grans o taules ben equilibrades, pero afortunadament estes són exactament les condicions en les que la prova de chi-quadrat és apropiada.

Per als càlculs manuals, la prova solament és factible en el cas d'una taula de contingència de 2 × 2. No obstant, el principi de la prova pot estendre's al cas general d'una taula m × n, i alguns paquets estadístics proporcionen un càlcul (a voltes utilisant un método de Mont Carlo per a obtindre una aproximació) per al cas més general.

Eixemple

Per eixemple, una mostra d'adolescents podria dividir-se en masculina i femenina, per un costat, i aquells que estan i no estan actualment estudiant per a un examen d'estadística, per l'atre. La nostra hipòtesis és, per eixemple, que la proporció d'individus que estudien és més alta entre les dònes que entre els hòmens, i volem comprovar si la diferència de proporcions que observem és significativa. Les senyes poden vore's aixina:

	Hòmens	Dònes	Total de files
Estudiant	1	9	10
No estudiant	11	3	14
Total de columnes	12	12	24

La pregunta que fem sobre estes senyes és: sabent que 10 d'estos 24 adolescents són estudiosos, i que 12 dels 24 són dònes, i assumint l'hipòtesis nula de que hòmens i dònes tenen la mateixa provabilitat d'estudiar, ¿quin és la provabilitat de que estos 10 continguen 9 dònes i un home? ¿Els estudiosos es distribuirien tan desigualment entre les dònes i els hòmens? Si tinguérem que elegir 10 dels adolescents a l'encert, ¿quin és la provabilitat de que 9 o més d'ells estiguen entre les 12 dònes, i solament 1 o menys entre els 12 hòmens?

Abans de procedir en la prova de Fisher, primer introduïm algunes anotacions. Representem les celes per les lletres a, b, c i d , cridem els totals a través de les files i els totals marginals de les columnes, i representem el gran total per n. Llavors la taula ara es veu aixina:

	Hòmens	Dònes	Total de files
Estudiant	a	b	a + b
No estudiant	c	d	c + d
Total de columnes	a + c	b + d	a + b + c + d (=n)

Fisher va mostrar que la distribució hipergeométrica proporciona la provabilitat d'obtindre qualsevol conjunt de valors d'este tipo:

$p=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{a})(\genfrac{}{}{0ex}{}{c+d}{c})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{a+c})}=\frac{(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!}{a!b!c!d!n!}$

on $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ és el coeficient binomial i el símbol "!" indica l'operador factorial. En les senyes anteriors, açò dona:

$p=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{11})/(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{12})=\frac{10!14!12!12!}{1!9!11!3!24!}\approx 0.001346076$