Autocorrelació

L'autocorrelació o dependència seqüencial és una característica que consistix en, elements propencs en l'espai o en el temps s'assemblen més entre sí que sobre elements més lluntans, solament pel fet d'estar prop. És a la seua volta una ferramenta estadística utilisada freqüentment en el processat de senyals.

La funció de autocorrelació es definix com la correlació creuada de la senyal en si mateixa. La funció de autocorrelació resulta de gran utilitat per a trobar patrons repetitius dins d'una senyal, com la periodicitat d'una senyal emmaixquerada baix el soroll o per a identificar la freqüència fonamental d'una senyal que no conté dita component, pero apareixen numeroses freqüències harmòniques d'esta.

Els processos de raïl unitària, autorregresivos, de tendència estacionaria i de mija mòvil; són eixemples de processos en autocorrelació.

Definicions de la funció de autocorrelació

Depenent del camp d'estudi es poden definir diferents tipos de autocorrelació sense que estes definicions siguen equivalents. En alguns camps s'utilisa indistintament les funcions de autocorrelació i d'autocovarianzas, ya que abdós només diferixen entre sí en una constant de proporcionalitat que és la varianza (en este cas, la autocovarianza d'orde $k>0$).

Estadística

En estadística, la autocorrelació d'una série temporal discreta d'un procés $X_t$ no és més que la correlació de dit procés en una versió ressagada en el temps de la pròpia série temporal.

Si $X_t$ representa un procés estacionario de segon orde en un valor esperat $\mu$; es definix llavors:

$R(k)=\frac{E[(X_i-\mu )(X_{i-k}-\mu )]}{{\sigma }^2}$

a on $E$ és el valor esperat i $k$ el ressague temporal considerat (normalment denominat desfasament). Esta funció varia dins del ranc [−1, 1], a on 1 indica una correlació perfecta (la senyal se superpon perfectament despuix d'un desplaçament temporal de $k$) i −1 indica una anticorrelació perfecta. És una pràctica comuna en moltes disciplines l'abandonar la normalisació per ${\sigma }^2$ i utilisar els térmens autocorrelació i autocovarianza de manera intercanviable.

Processament de senyals

En el camp de processament de senyals, donada una senyal temporal $f(t)$, la autocorrelació contínua $R_f(\tau )$ és la correlació contínua creuada de $f(t)$ en si mateixa despuix d'un desfasament $\tau$, i es definix com:

$R_f(\tau )=f^{*}(-\tau )\circ f(\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t+\tau )f^{*}(t)dt=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)f^{*}(t-\tau )dt$

a on $f^{*}$ representa el conjugat complex i el círcul representa una convolución. Per a una funció real, $f^{*}=f$.

Formalment, la autocorrelació discreta $R$ en un desfasament $j$ per a una senyal $x_n$ és

$R(j)=\sum _n(x_n-m)(x_{n-j}-m)$

a on $m$ és el valor esperat de $x_n$.

Freqüentment les autocorrelaciones es calculen per a senyals centrades al voltant del zero, és dir en un valor principal de zero. En eixe cas la definició de la autocorrelació ve donada per:

$R(j)=\sum _n{x}_n{x}_{n-j}.$

Les autocorrelaciones multidimensionales poden definir-se de manera similar. Per eixemple, en tres dimensions pot definir-se la autocorrelació d'una funció com:

$R(j,k,\ell )=\sum _{n,q,r}(x_{n,q,r}-m)(x_{n-j,q-k,r-\ell }-m).$

Propietats

Definirem les propietats de la autocorrelació unidimensional. La majoria de les seues propietats són extensibles fàcilment als casos multidimensionales.

• Simetria: $R(i)=R(-i)$,

• La funció de autocorrelació alcança un valor màxim en l'orige, a on alcança un valor real. El mateix resultat pot trobar-se en el cas discret.

• Com la autocorrelació és un tipo específic de correlació manté totes les propietats de la correlació.

• La autocorrelació d'una senyal de soroll blanc tindrà un fort pic en $\tau =0$ i valors propencs a zero i sense cap estructura per a qualsevol atre $\tau$;. Açò mostra que el soroll blanc carix de periodicitat.

• Segons el teorema de Wiener-Khinchin, la funció de autocorrelació és la transformada inversa de Fourier de la densitat espectral:

$R(\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}S(f)e^{j2\pi f\tau }df$

Igualment, l'espectre es relaciona en la funció de autocorrelació:

$S(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}R(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau .$

La conseqüència és que la senyal pot expressar-se indistintament en el domini del temps ($t$) o el domini de les freqüències ($f$), en existir esta correspondència entre abdós, i entenent que la senyal està completament determinada a partir del total dels seus moments o del total de les seues freqüències.