Densitat espectral

Densitat espectral

DEP d'una senyal aleatòria en la banda de 0kHz-20kHz estimada per mig del método de Welch.

En matemàtiques i en física, la Densitat Espectral (Spectral Density) d'una senyal és una funció matemàtica que nos informa de cóm està distribuïda la potència o l'energia (segons el cas) de dita senyal sobre les distintes freqüències de les que està formada.

La definició matemàtica de la Densitat Espectral (DE) és diferent depenent de si es tracta de senyals definides en energia, en el cas de la qual parlem de Densitat Espectral d'Energia (DEE), o en potència, en el cas de la qual parlem de Densitat Espectral de Potència (DEP).

Encara que la densitat espectral no és exactament lo mateix que l'espectre d'una senyal, a voltes abdós térmens s'usen indistintament, la qual cosa, en rigor, és incorrecte.

Definició matemàtica

Senyals definides en energia

Una senyal $x(t)$ és definida en energia si la seua energia mija és finita, i.i, $0<E_x<\mathrm{\infty }$ i per tant, la seua potència mija és zero. Una atra forma de dir lo mateix és si l'integral de la seua valor absolut al quadrat existix i és finita.

El seu DEE és

$S_{xx}(f)={|X(f)|}^2$ expressat en [J/Hz]

a on $X(f)$ és la Transformada de Fourier de $x(t)$, l'integral d'esta funció en tot l'eix $f$ és el valor de l'energia total de la senyal $x(t)$

$E=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{S}_{xx}(f)df$

Senyals definides en potència

Una senyal $x(t)$ és definida en potència si la seua potència mija és finita, i.i, $0<P_x<\mathrm{\infty }$ i per tant, la seua energia mija és infinita, $E_x=\mathrm{\infty }$.

La DEP es calcula usant el Teorema de Wiener-Khinchin el qual relaciona la DEP en la transformada de Fourier de la funció d'autocorrelación

$S_{xx}(f)=\text{TF}\{R_{xx}(\tau )\}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{R}_{xx}(\tau )e^{-2\pi if\tau }d\tau$ expressat en [W/Hz]

a on $\text{TF}$ significa Transformada de Fourier i $R_{xx}$ és la funció de autocorrelación de $x(t)$.

El valor $S_{xx}(0)$ és la potència de la component contínua (DC) de la senyal. L'integral d'esta funció en tot l'eix $f$ és el valor de la potència total de la senyal $x(t)$

$P=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{S}_{xx}(f)df$

Usant el concepte de correlació creuada és possible definir també la densitat espectral creuada.

$S_{xy}(f)=\text{TF}\{R_{xy}(\tau )\}$

Nota: En realitat, la definició de la DEP servix també per a les senyals definides en energia, que serien un cas particular. En este cas la Transformada de Fourier de la autocorrelación de la senyal x(t) seria simplement la transformada de Fourier de la senyal x(t) al quadrat, és dir, la DEE.

Propietats

Relatives als sistemes llineals i invariantes en el temps

En un sistema llineal i invariante en el temps en el que $x(t)$ és l'entrada, $h(t)$ la resposta a l'impuls i $y(t)$ l'eixida del sistema. Tenim les següents propietats:

$m_y=m_x\cdot H(0)$

$S_{yy}(\omega )=S_{xx}(\omega )\cdot |H(\omega ){|}^2$

$S_{xy}(\omega )=S_{xx}(\omega )\cdot H^{*}(\omega )$

$S_{yx}(\omega )=S_{xy}^{*}(\omega )=S_{xx}(\omega )\cdot H(\omega )$

a on $m_y$ és la mija de $y(t)$ i $S_{xy}$ és la densitat espectral creuada entre $x(t)$ i $y(t)$

Suma de processos

En general, la Densitat Espectral de la suma NO és suma de Densitat Espectrals. Açò solament és cert si abdós processos no estan correlacionados. En general, si tenim:

$z(t)=x(t)+y(t)$

a on $x(t)$ i $y(t)$ són conjuntament estacionarios, llavors

$R_{zz}(\tau )=R_{xx}(\tau )+R_{yy}(\tau )+R_{xy}(\tau )+R_{yx}(\tau )$

$S_{zz}(\omega )=S_{xx}(\omega )+S_{yy}(\omega )+S_{xy}(\omega )+S_{yx}(\omega )$

$S_{zz}(\omega )=S_{xx}(\omega )+S_{yy}(\omega )+S_{xy}(\omega )+S_{xy}^{*}(\omega )$

$S_{zz}(\omega )=S_{xx}(\omega )+S_{yy}(\omega )+2\text{Re}[S_{xy}(\omega )]$

Bibliografia

• "Tractament digital de senyals. Principis, algoritmes i aplicacions". ERG. Proakis, Dimitris G. Manolakis. Prentice Hall, ISBN 0-13-373762-4