Sistema LTI

En processament de senyals, un sistema LTI (Linear Clave-Invariant) o sistema llineal i invariante en el temps, és aquell que, com el seu propi nom indica, complix les propietats de linealidad i invarianza en el temps.

Propietats

Linealidad

Un sistema és llineal (L) si satisfà el principi de superposició, que engloba la propietat aditiva i d'homogeneïtat o escalat. Que siga proporcional significa que quan l'entrada d'un sistema és multiplicada per un factor, l'eixida del sistema també serà multiplicada pel mateix factor. Per un atre costat, que un sistema siga aditiu significa que si l'entrada és el resultat de la suma de dos entrades, l'eixida serà la resultant de la suma de les eixides que produirien cada una d'eixes entrades individualment.

Propietat de proporcionalitat

Si Archiu:Xlyjz8.png Archiu:Aoeaooa.png

Propietat de aditiva

Archiu:Señales individuales en un sistema lineal2.PNG Archiu:Suma de 2 señales.PNG

Principi de linealidad o de superposició proporcional

Archiu:Principio de Superposición con Escalado Lineal.png

Matemàticament, si i₁(t), i₂(t), ... i_n(t) són les eixides del sistema per a les entrades x₁(t), x₂(t), ... x_n(t) i a₁, a₂, ... a_n són constants complexes, el sistema és llineal si:

$\sum _k{a}_k{x}_k(t)\to \sum _k{a}_k{y}_k(t)$

En un sistema llineal, si l'entrada és nula, l'eixida també ha de ser-ho. Un sistema incrementalmente llineal és aquell que, sense verificar l'última condició, respon linealmente als canvis en l'entrada.

Per eixemple, i(t) = 2x(t) + 2 no és llineal lloc que i(t) ≠ 0 per a x(t) = 0, pero sí és incrementalmente llineal.

Invariabilidad

Un sistema és invariante en el temps si i solament si el seu comportament i les seues característiques són fixes. Açò significa que els paràmetros del sistema no van canviant a través del temps i que per lo tant, una mateixa entrada nos donarà el mateix resultat en qualsevol moment (ya siga ara o despuix).

Archiu:Xttiytya9.png Archiu:Xttotiyttond9.png

Matemàticament, un sistema és invariante en el temps si un desplaçament temporal en l'entrada x(t-t₀) ocasiona un desplaçament temporal en l'eixida i(t-t₀).

$\text{Si }x(t)\to y(t),\text{ entonces }x(t-t_0)\to y(t-t_0)$

LTI

La combinació per mig del principi de superposició d'abdós propietats conferix als sistemes la característica LTI.

Archiu:Sistema LTI.png Archiu:Sistema LTI.png

Principi de Superposició en LTI

Archiu:Principio de Superposición con Escalado Lineal.png

Una característica molt important i útil d'este tipo de sistemes residix que es pot calcular l'eixida del mateix davant qualsevol senyal per mig de la convolución, és dir, descomponent l'entrada en un tren d'impulsos que seran multiplicats per la resposta a l'impuls del sistema i sumats.

Sistemes LTI en Série/Paralel

• SERIE: Si dos o més sistemes estan en série un en un atre, l'orde pot ser intercanviat sense que es veja afectada l'eixida del sistema. Els sistemes en série també són cridats com a sistemes en cascada. Un sistema equivalent és aquell que està definit com la convolución dels sistemes individuals.

Esquema senzill Sistema LTI Série Archiu:Cascade lti.png

• PARALELO: Si dos o més sistemes LTI estan en paralel en un atre, un sistema equivalent és aquell que està definit com la suma d'estos sistemes individuals.

Esquema senzill Sistema LTI Paralel Archiu:Parallelsystem.png

Vore també

• Convolución