Método de Box-Muller

Diagrama de la transformada de Box Müller. Els círculs inicials, es troben uniformemente espayats respecte a l'orige, estan graficados junt en un atre conjunt de círculs centrats en l'orige a on la separació entre ells aumenta a mida que s'allunten de l'orige. Els círculs més grans del domini es corresponen en els círculs més chicotets en el ranc (o codominio) i viceversa.

El método de Box-Muller (nomenat aixina pels seus inventors George Edward Pelham Box i Mervin Edgar Müller 1958) és un método de generació de parells de números aleatoris independents en distribució normal "estàndart" (esperança zero i varianza unitària), a partir d'una font de números aleatoris uniformemente distribuïts.

Li'l troba expressat de dos formes. La forma bàsica és la que varen desenrollar Box i Müller, i pren dos mostres de la distribució uniforme en l'interval (0, 1] i les transforma en dos mostres en distribució normal. El método polar pren dos mostres d'un interval distint, [−1, +1], i les transforma a dos mostres normalment distribuïdes sense utilisar les funciones sen o coseno.

També és possible utilisar el método de la transformada inversa per a generar números aleatoris distribuïts normalment; en comparació el método de Box-Müller posseïx la ventaja de ser més eficient des d'un punt de vista computacional. També és possible utilisar l'algoritme Ziggurat que és més eficient.

Forma bàsica

Se supon que O₁ i O₂ són variables aleatòries independents que estan uniformemente distribuïdes en l'interval (0, 1]. Siga

$Z_0=R\cos (\Theta )=\sqrt{-2\ln U_1}\cos (2\pi U_2)$

i

$Z_1=R\sin (\Theta )=\sqrt{-2\ln U_1}\sin (2\pi U_2).$

Llavors Z₀ i Z₁ són variables aleatòries independentes en una distribució normal en desviació típica 1.

La demostració es basa en el fet que, en un sistema cartesiano bidimensional a on les coordenades X i I són donades per dos variables aleatòries independents i distribuïdes normalment, les variables aleatòries per a R² i Θ (indicades prèviament) en les coordenades polars corresponents també són independents i posseïxen les expressions:

$R^2=-2\cdot \ln U_1$

i

$\Theta =2\pi U_2.$

Método polar

Erro al crear miniatura:

Dos valors uniformemente distribuïts, $u$ i $v$ són usats per a produir el valor $s=R^2$, el qual també es troba distribuïda en forma uniforme. Les definicions del sen i del coseno s'apliquen després sobre la forma bàsica de la transformada de Box-Müller Transform de manera d'evitar l'us de funcions trigonométricas.

La forma polar Devroye se li atribuïx a Marsaglia. També és mencionada en Carter, encara que sense ser-li atribuïda a ningú en particular.

Daus o i v, independentes i uniformemente distribuïts en un interval tancat [−1, +1], siga s = R² = o² + v². (A on òbviament $R=\sqrt{s}$.) Si s = 0 o s > 1, s'eliminen o i v i es prova en un atre parell (o, v). Es continua en el procés fins que es troba un parell en s en l'interval obert (0, 1). Ya que o i v estan uniformemente distribuïts i com només s'admeten punts continguts en el círcul unitari, els valors de s també es trobaren uniformemente distribuïts en l'interval obert (0, 1). Açò últim es pot verificar si es calcula la funció de densitat de provabilitat per a s en l'interval (0, 1). Lo que no és una atra cosa que l'àrea del círcul de radi $\sqrt{s}$ dividit per $\pi$. A partir d'açò es pot trobar la funció de densitat de provabilitat que tinga un valor constant d'1 en l'interval (0, 1). En forma similar, l'àngul θ dividit per $2\pi$ està distribuït uniformemente en l'interval obert (0, 1) i independent de s.