Funció probit

En provabilitat i estadística es diu funció probit a l'inversa de la funció de distribució o funció cuantil associada en la distribució normal estàndar. La funció té aplicacions en gràfics estadístics exploratoris i models probit.

Per a la distribució normal estàndar (a sovint denotada per $N(0,1)$) la funció de distribució es denota comunament per $\Phi$. $\Phi$ és una funció sigmoide contínua i creixent, que els seus domini i recorregut són l'interval $(0,1)$ i la recta real, respectivament.

Per eixemple, considere's el fet de que la distribució $N(0,1)$ té un $95\mathrm{\%}$ de provabilitat entre -1,96 i 1,96 i és simètrica en un entorn de zero. D'ahí es deduïx que $\Phi (-1.96)=0.0251-\Phi (1.96)$.

La funció probit proporciona el càlcul invers, generant un valor d'una variable aleatòria $N(0,1)$ associat en una provabilitat acumulada baix la seua curva. Formalment, la funció probit és l'inversa de $\Phi (z)$, denotada ${\Phi }^{-1}(p)$.

Seguint en l'eixemple, probit(0,025) = -1,96 = -probit(0,975).

En general, Φ(probit(p)) = p i probit(Φ(z)) = z

Gràfica de la funció probit

L'idea de probit va ser publicada en 1934 per Chester Ittner Bliss (1899-1979) en un artícul de Science sobre cóm tractar senyes tals com el percentage de plaga eliminada per un pesticida. Bliss va propondre transformar el percentage eliminat en una "unitat de provabilitat" (o "probit") que estaria linealment relacionada en la definició moderna (ell la va definir arbitrariamente com a igual a 0 per a 0,0001 i 10 per a 0,9999). Va incloure una taula per a ajudar a atres investigadors a convertir els seus percentages eliminats al seu probit, en la qual podrien dibuixar el logaritme de la dosis i aixina, s'esperava, obtindre una llínea més o menys recta. El cridat model probit és encara important en toxicologia, aixina com en atres camps. L'aproximació es justifica, en particular, si la variació de resposta pot racionalisar-se com una distribució lognormal de tolerància entre els subjectes del test, a on la tolerància d'un subjecte particular és just la dosis suficient per a la resposta d'interés.

El método introduït per Bliss va ser transcrito en un important text d'aplicacions toxicològiques de D. J. Finney. Les taules de valors de Finney poden derivar-se de probits, tal com es definixen ací, afegint una cantitat de 5. Esta diferència és resumida per Collett (p. 55): "La definició original d'un probit [afegint 5] pretenia en principi evitar el treball en probits negatius; [...] Esta definició s'usa encara en alguns quartos , pero en la majoria de paquets de software estadístic en els quals es referix com a anàlisis probit, els probits es definixen sense la suma de 5". Deuria observar-se que la metodologia probit, incloent l'optimisació numèrica per a ajustar-se a les funcions probit, va ser introduïda abans de la popularisació de la computació electrònica. Quan s'usen taules, és convenient tindre probits uniformemente positius. Les àrees comunes d'aplicació no requerixen probits positius.

Diagnosticant la desviació d'una distribució de la normalitat

Artícul principal → Gràfic Q-Q.

Ademés de proporcionar una base per a importants tipos de regressió, la funció probit és útil en anàlisis estadístic per al diagnòstic de la desviació de la normalitat, d'acort en el método del gràfic Q-Q. Si un conjunt de senyes és en realitat una mostra d'una distribució normal, un gràfic dels valors front als seus marcadors probit serà, aproximadament, llineal. Les desviacions específiques de la normalitat, com l'asimetria, la curtosis o la bimodalidad, poden diagnosticar-se basant-se en la detecció de desviacions específiques de la linealidad. Mentres que el gràfic Q-Q es pot usar per a la comparació en qualsevol família de distribucions, no solament la normal, el gràfic Q-Q normal és un procediment relativament estàndar d'anàlisis exploratori de senyes perque l'assunció de normalitat és a sovint el punt d'inici per a l'anàlisis.

Computació

La funció de distribució de la normal i la seua inversa no estan disponibles en forma tancada i la seua computació requerix un cuidadós us de procediments numèrics. No obstant, les funcions estan disponibles àmpliament en software estadístic i de modelisació provabilística i en hoja. En entorns de computació a on les implementacions numèriques de l'inversa de la funció error estan dispontibles, la funció probit pot obtindre's com

$\mathrm{probit}(p)=\sqrt{2}{\mathrm{erf}}^{-1}(2p-1).$

Un eixemple és MATLAB, a on està disponible una funció 'erfinv'. El llenguage Mathematica implementa 'InverseErf'. Atres entorns directament implementen la funció probit com es mostra en la següent sessió del llenguage de programació R.

> qnorm(0.025)

[1] -1.959964

> pnorm(-1.96)

[1] 0.02499790

Una equació diferencial ordinària per a la funció probit

Un atre mig de computació està basat en la formació d'una equació diferencial ordinària no llineal per a probit. Abreviant la funció probit com $w(p)$, l'EDO és

$\frac{d^{2}w}{d{p}^2}=w{\left(\frac{dw}{dp}\right)}^2$

en les condicions centrals (llímits)

$w(1/2)=0$

$w^{\prime }(1/2)=\sqrt{2\pi }$

Esta equació pot resoldre's per varis métodos, incloent l'aproximació clàssica per series de potències. Des d'estes solucions de tan alta exactitut com es desige, pot desenrollar-se basada en l'aproximació de Steinbrecher a la série per a la funció d'error inversa. La solució per séries de potències ve donada per

$w(p)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{d_k}{(2k+1)}(2p-1{)}^{(2k+1)}$

a on els coeficients $d_k$ satisfan la recurrencia no llineal

$d_{k+1}=\frac{\pi }{4}\sum _{j=0}^k\frac{d_j{d}_{k-j}}{(j+1)(2j+1)}$

en $d_0=1$. En esta forma la raó $d_{k+1}/d_k\to 1$ com $k\to \mathrm{\infty }$.

Vore també

• Gràfic Q-Q
• Anàlisis rankit, també desenrollat per Chester Bliss.
• Model probit
• Logit, Model logit
• Funció Cuantil