Punt crític (matemàtica)

Punts estacionarios (creus roges) i punts d'inflexió (círculs verts). És important notar que els punts estacionarios són punts crítics, pero els punts d'inflexió no sempre ho són.

En càlcul, un punt crític d'una funció d'una variable real és qualsevol valor en el domini en a on la funció no és diferenciable o quan la seua derivada és 0. El valor de la funció en el punt crític és un valor crític de la funció. Estes definicions admeten generalisacions a funcions de vàries variables, mapes diferenciables entre ${ℝ}^m$ i ${ℝ}^n$, i mapes diferenciables entre varietats diferenciables.

Definició per a les funcions d'una sola variable

Artícul principal → Extrems d'una funció.

Un punt crític d'una funció d'una sola variable real, $f(x)$, és un valor $x_0$ dins del domini de $f$ a on la funció no és diferenciable, o be, la seua derivada és $0$, és dir, $f^{\prime }(x_0)=0$. Qualsevol valor en el codominio de $f$ que siga l'image d'un punt crític baix $f$ és un valor crític de $f$. Estos conceptes poden ser visualisats per mig de la gràfica de $f$: en un punt crític, la gràfica no admet una tangente, o be, la tangente és una llínea vertical o horisontal. En l'últim cas, la derivada és zero i el punt és anomenat un punt estacionario de la funció.

Pel teorema de Fermat, els màxims i mínims locals d'una funció poden ocórrer únicament en els seus punts crítics. No obstant, no tot punt estacionario és un màxim o mínim de la funció; pot correspondre també a un punt d'inflexió de la gràfica, com para $f(x)=x^3$ en $x=0$ o la gràfica pot oscilar en el veïnat del punt, com en el cas de la funció definida per la fòrmula $f(x)=x^2\mathrm{sen}(1/x)$ per a $x\ne 0$ i $f(0)=0$, en el punt $x=0$.

Derivada igual a zero

Donada una funció real de variable real $y=f(x)$

$\begin{array}{cccc}f:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& ⟼& y=f(x)\end{array}$

En domini de definició $(a,c)$, sent $y=f(x)$ contínua i derivable en l'interval $(a,c)$ i un punt $b$ d'eixe interval:

$a<b<c$

a on la seua derivada en $b$ és zero:

$\frac{df(b)}{dx}=0$

poden presentar-se els següents casos.

Màxim

La funció de $a$ a $b$ és creixent i de $b$ a $c$ és decreixent, en el punt $b$ la tangente a la funció és horisontal i per tant en el punt $b$ la funció presenta un màxim relatiu.

Mínim

La funció de $a$ a $b$ és decreixent i de $b$ a $c$ és creixent, en el punt $b$ la tangente a la funció és horisontal i per tant en el punt $b$ la funció presenta un mínim relatiu.

Punt d'inflexió

La funció de $a$ a $b$ és creixent i de $b$ a $c$ és també creixent, en el punt $b$ la tangente a la funció és horisontal i per tant en el punt $b$ la funció presenta un punt d'inflexió.

La funció de $a$ a $b$ és decreixent i de $b$ a $c$ és també decreixent, en el punt $b$ la tangente a la funció és horisontal i per tant en el punt $b$ la funció presenta també un punt d'inflexió.

Eixemples

• La funció ƒ(x) = x² + 2x + 3 és diferenciable en tot lloc, en la derivada ƒ^′(x) = 2x + 2. Esta funció té un únic punt crític −1, degut a que és l'únic número x₀ per al qual 2x₀ + 2 = 0. Este punt és un mínim global de ƒ. El corresponent valor crític és ƒ(−1) = 2. La gràfica de ƒ és una paràbola cóncava cap a dalt, el punt crític és l'abscissa del vèrtiç, a on la llínea tangente és horisontal, i el valor crític és l'ordenada del vèrtiç i pot ser representat per l'intersecció d'esta llínea tangente i l'eix i.

• La funció f(x) = x^2/3 està definida per a tota x i és diferenciable per a x ≠ 0, en la derivada ƒ^′(x) = 2x^−1/3/3. Degut a que ƒ^′(x) ≠ 0 per a x ≠ 0, l'únic punt crític de ƒ és x = 0. La gràfica de la funció ƒ té una cim en este punt en una tangente vertical. El corresponent valor crític és ƒ(0) = 0.

• La funció ƒ(x) = x³ − 3x + 1 és diferenciable en tots els llocs, en la derivada ƒ^′(x) = 3x² − 3. Té dos punts crítics, en x = −1 i x = 1. Els corresponents valors crítics són ƒ(−1) = 3, que és un valor màxim local, i ƒ(1) = −1, que és un valor mínim local de ƒ. Esta funció no té màxim o mínim global. Degut a que ƒ(2) = 3, s'observa que un valor crític pugues també ser alcançat en un punt no crític. Geomètricament, açò significa que una llínea tangente horisontal a la gràfica en un punt (x = −1) pot intersecar la gràfica en un àngul agut en un atre punt (x = 2).
• La funció $f(x)=|x-1|$ és derivable en tot el seu domínio llevat en $x=1$, després el $(1,0)$ és l'únic punt crític; a pesar de que existixen les derivades laterals en tal punt, pero distintes.

• La funció màxim sancer de x, coneguda com a tal en anàlisis matemàtic i teoria de números

$\lfloor x\rfloor =\max \{k\in \mathbb{Z}\mid k\le x\}$

no és derivable per a valors sancers de x; per lo tant té una infinitat numerable de punts crítics.

Vore també

Punt crític

Punt fronteriç

Punt estacionario

Punt singular

Punt d'inflexió

• Extrems d'una funció
• Singularitat matemàtica
• Classificació de discontinuïtats
• Criteri de la primera derivada
• Criteri de la segona derivada
• Criteri de la tercera derivada
• Criteri de la derivada de major orde
• Punt de cadira