Matriu booleana

Una matriu booleana és una matriu de números les components dels quals o entrades són exclusivament zeros o uns. Les matrius booleanas són útils perque poden representar objectes abstractes com relacions binarias o grafos.

Una matriu booleana general de nxm elements té la forma:

A on a_ij = 0 o a_ij = 1.

Eixemples

Eixemples de matrius booleanas són les següents:

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Operacions en matrius booleanas

Les operacions que es poden realisar entre matrius booleanas són tres: unió, conjunció i producte booleano. No obstant, estes operacions no poden realisar-se sobre dos matrius qualssevol, sino que deuen complir certs criteris per a poder portar-se a terme. En particular, en el cas de l'unió i la conjunció, les matrius que intervenen en l'operació deuen tindre el mateix tamany, i en el cas del producte booleano, les matrius deuen complir en les mateixes condicions que per a formar el producte de matrius.

Unió / Disjunció

Siguen A, B i C matrius booleanas de nxm elements. Es definix $A\vee B=C$ l'unió d'i B, per:

Intersecció / Conjunció

Siguen A, B i C matrius booleanas de nxm elements. Es definix $A\wedge B=C$ l'intersecció d'i B, per:

Atres operacions matriciales

La trasponer d'una matriu booleana és també una atra matriu booleana; pero les operacions en matrius booleanas no sempre produïxen matrius booleanas. Un eixemple d'operació que no és interna per a les matrius booleanas és la suma:

No obstant, si es consideren les operacions no sobre número real sino sobre elements del cos de característica 2 ${\mathbb{Z}}_2=\{\overline{0},\overline{1}\}$ queda garantisat que qualsevol operació entre matrius booleana és boolena. Per a l'eixemple anterior es té: