Anex:Identitats trigonométricas

Totes les funcions en O

Plantilla:Trigonometria Una identitat trigonométrica és una igualtat que vincula dos funcions trigonométricas i és vàlida en el domini comú o descartant els punts que anulen alguna funció en cas de ser divisor. Les funcions estan lligades per operacions racionals i per potències d'exponent sancer, encara que en alguns casos es recorre a la raïl quadrada. Els ànguls se sumen algebraicament, es multipliquen o es dividixen per sancers positius i després actuen com a argument d'alguna funció.

Nota: la notació ${\mathrm{sen}}^2\alpha$ es definix com $(\mathrm{sen}\alpha {)}^2$. Lo mateixa s'aplica a les demés funcions trigonométricas.

Funcions trigonométricas

Identitats trigonométricas fonamentals, i cóm convertir d'una funció trigonométrica a una atra

• $\mathrm{sen}\theta =y\text{, }\cos \theta =x$ en $\Delta R$ d'hipotenusa igual a un, cateto adjacent $x$, cateto opost $y$, respecte a $\theta .$
• $\mathrm{tg}\theta =\frac{\mathrm{sen}\theta }{\cos \theta },\theta \ne \frac{\pi }{2}+\pi k\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}k\in \mathbb{Z}.$
• $\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\mathrm{sen}\theta },\theta \ne \pi k\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}k\in \mathbb{Z}.$
• $\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta },\theta \ne \frac{\pi }{2}+\pi k,\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}k\in \mathbb{Z}.$
• $\csc \theta =\frac{1}{\mathrm{sen}\theta },\theta \ne \pi k,\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}k\in \mathbb{Z}.$

Relacions bàsiques

Periodicitat $2\pi$	$\cos \theta =\mathrm{sen}(\frac{\pi }{2}+\theta )$
Simetria	$\mathrm{sen}\theta =-\mathrm{sen}(-\theta )$
Relació pitagórico	${\mathrm{sen}}^2\theta +{\cos }^2\theta =1$
Identitat de la raó	$\mathrm{tg}\theta =\frac{\mathrm{sen}\theta }{\cos \theta }$

D'estes identitats, es pot elaborar la següent taula. Per a obtindre el signe correcte en alguns casos es necessitarà saber els valors per als quals la funció trigonométrica en qüestió és negativa o positiva.

Funcions trigonométricas en funció de les atres cinc

En térmens de ! scope="col" | $\mathrm{sen}$	$\cos$	$\mathrm{tg}$	$\cot$	$\sec$	$\csc$
$\mathrm{sen}\theta$	$\mathrm{sen}\theta$	$\cos (\frac{3\pi }{2}+\theta )$	$\frac{\mathrm{tg}\theta }{\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^2\theta }}$	$\frac{1}{\sqrt{1+{\cot }^2\theta }}$	$\frac{\sqrt{{\sec }^2\theta -1}}{\sec \theta }$	$\frac{1}{\csc \theta }$
$\cos \theta$	$\mathrm{sen}(\frac{\pi }{2}+\theta )$	$\cos \theta$	$\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^2\theta }}$	$\frac{\cot \theta }{\sqrt{1+{\cot }^2\theta }}$	$\frac{1}{\sec \theta }$	$\frac{\sqrt{{\csc }^2\theta -1}}{\csc \theta }$
$\mathrm{tg}\theta$	$\frac{\mathrm{sen}\theta }{\mathrm{sen}(\frac{\pi }{2}+\theta )}$	$\frac{\cos (\frac{3\pi }{2}+\theta )}{\cos \theta }$	$\mathrm{tg}\theta$	$\frac{1}{\cot \theta }$	$\sqrt{{\sec }^2\theta -1}$	$\frac{1}{\sqrt{{\csc }^2\theta -1}}$
$\cot \theta$	$\frac{\mathrm{sen}(\frac{\pi }{2}+\theta )}{\mathrm{sen}\theta }$	$\frac{\cos \theta }{\cos (\frac{3\pi }{2}+\theta )}$	$\frac{1}{\mathrm{tg}\theta }$	$\cot \theta$	$\frac{1}{\sqrt{{\sec }^2\theta -1}}$	$\sqrt{{\csc }^2\theta -1}$
$\sec \theta$	$\frac{1}{\mathrm{sen}(\frac{\pi }{2}+\theta )}$	$\frac{1}{\cos \theta }$	$\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^2\theta }$	$\frac{\sqrt{1+{\cot }^2\theta }}{\cot \theta }$	$\sec \theta$	$\frac{\csc \theta }{\sqrt{{\csc }^2\theta -1}}$
$\csc \theta$	$\frac{1}{\mathrm{sen}\theta }$	$\frac{1}{\cos (\frac{3\pi }{2}+\theta )}$	$\frac{\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^2\theta }}{\mathrm{tg}\theta }$	$\sqrt{1+{\cot }^2\theta }$	$\frac{\sec \theta }{\sqrt{{\sec }^2\theta -1}}$	$\csc \theta$

De les definicions de les funcions trigonométricas:

$\mathrm{tg}x=\frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}\cot x=\frac{1}{\mathrm{tg}x}=\frac{\cos x}{\mathrm{sen}x}$

$\sec x=\frac{1}{\cos x}\csc x=\frac{1}{\mathrm{sen}x}$

Són més senzilles de provar en la circumferència trigonométrica o goniométrica (que té ràdio igual a 1):

$\mathrm{sen}(x)=\mathrm{sen}(x+2\pi )\cos (x)=\cos (x+2\pi )\mathrm{tg}(x)=\mathrm{tg}(x+\pi )$

$\mathrm{sen}(-x)=\mathrm{sen}(x+\pi )\cos (-x)=-\cos (x+\pi )$

$\mathrm{tg}(-x)=-\mathrm{tg}(x)\cot (-x)=-\cot (x)$

$\mathrm{sen}(x)=\cos (\frac{\pi }{2}-x)\cos (x)=\mathrm{sen}(\frac{\pi }{2}-x)\mathrm{tg}(x)=\cot (\frac{\pi }{2}-x)$

A voltes és important saber que qualsevol combinació llineal d'una série d'ones senoidales que tenen el mateix periodo pero estan desfasadas, és també una ona senoidal del mateix periodo pero en un desplaçament de fase diferent. Dit d'un atre modo:

$a\mathrm{sen}(x)+b\cos (x)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \mathrm{sen}(x+\phi )$

a on

$\phi =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(b/a)$ si α és positiu i $\phi =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(b/a)+\pi$ si no.

Usant la funció Nuguen2 també pot escriure's com

$a\mathrm{sen}(x)+b\cos (x)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \mathrm{sen}(x+\mathrm{atan2}(b,a))$.

L'identitat

${\mathrm{sen}}^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)=1$

És cridada identitat trigonométrica fonamental, i efectuant senzilles operacions permet trobar unes 24 identitats més, molt útils per a problemes introductoris del tipo conegut el valor de la funció sen, obtinga el valor de les restants (sense taula ni calculadora).

Per eixemple, si es dividix abdós membres de "sen² + cos² = 1" per cos², s'obté:

${\mathrm{tg}}^2\left(x\right)+1={\sec }^2\left(x\right)$

Ara, dividint abdós membres de la mateixa expressió pel sen², s'obté:

${\cot }^2\left(x\right)+1={\csc }^2\left(x\right)$

Llavors pot expressar-se la funció sen segons alguna atra coneguda:

$\mathrm{sen}(x)=\sqrt{1-{\cos }^2(x)}\mathrm{sen}(x)=\frac{\mathrm{tg}x}{\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^2(x)}}$

$\mathrm{sen}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+{\cot }^2(x)}}\mathrm{sen}(x)=\frac{1}{\sec x}\sqrt{{\sec }^2(x)-1}$

Eixemple 2:

Identitats de suma i diferència d'ànguls

Poden demostrar-se segons la Fòrmula de Euler o per mig de la proyecció d'ànguls consecutius. L'identitat de la tangente sorgix del cocient entre coseno i sen, i les restants de la recíproca corresponent.

Les següents demostracions són vàlides només per a valors de $\alpha ,\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$ puix les construccions sobre les que se sostenen no es poden construir per a ànguls fòra d'eixe interval. Davall hi ha una demostració per al cas general.

A continuació es presenta una demostració vàlida per a qualsevol àngul a partir de les definicions de sen i coseno de qualsevol àngul com a parametrización del círcul unitat. Com a lemes, es demostra també que $\cos (-x)=\cos (x)$, $\sin (-x)=-\sin (x)$ i que $\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\sin (x)$.

De lo que se seguix per a determinats ànguls suplementaris:

$\mathrm{sen}(\pi \pm x)=\mp \mathrm{sen}(x)$

$\cos (\pi \pm x)=-\cos (x)$

$\mathrm{tg}(\pi \pm x)=\pm \mathrm{tg}(x)$

$\csc (\pi \pm x)=\mp \csc (x)$

Para ànguls complementaris:

$\mathrm{sen}(\frac{\pi }{2}-x)=\cos (x)$

$\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\mathrm{sen}(x)$

$\mathrm{tg}(\frac{\pi }{2}-x)=\cot (x)$

$\csc (\frac{\pi }{2}-x)=\sec (x)$

$\sec (\frac{\pi }{2}-x)=\csc (x)$

$\cot (\frac{\pi }{2}-x)=\mathrm{tg}(x)$

Per a ànguls oposts:

$\mathrm{sen}(-x)=-\mathrm{sen}\left(x\right)$

$\cos (-x)=\cos \left(x\right)$

$\mathrm{tg}(-x)=-\mathrm{tg}\left(x\right)$

$\csc (-x)=-\csc \left(x\right)$

$\sec (-x)=\sec \left(x\right)$

$\cot (-x)=-\cot \left(x\right)$

Atres relacions:

$\sqrt{2}\mathrm{sen}(\frac{\pi }{4}\pm x)=\sqrt{2}\cos (\frac{\pi }{4}\mp x)=\cos \left(x\right)\pm \mathrm{sen}\left(x\right)$

Identitats de l'àngul múltiple

Si $T_n$ és el $n$-ésimo polinomi de Chebyshev llavors

$\cos (nx)=T_n(\cos x)$

Fòrmula de De Moivre:

$\cos (nx)+i\mathrm{sen}(nx)=(\cos x+i\mathrm{sen}x{)}^n$

Fòrmules de l'àngul doble

Fòrmules per a ànguls dobles.

$\begin{array}{cc}\mathrm{sen}(2\theta )& =2\mathrm{sen}\theta \cos \theta \\ \cos (2\theta )& ={\cos }^2\theta -{\mathrm{sen}}^2\theta =2{\cos }^2\theta -1=1-2{\mathrm{sen}}^2\theta \\ \mathrm{tg}(2\theta )& =\frac{2\mathrm{tg}\theta }{1-{\mathrm{tg}}^2\theta }\\ \cot (2\theta )& =\frac{{\cot }^2\theta -1}{2\cot \theta }\\ \sec (2\theta )& =\frac{{\sec }^2\theta }{2-{\sec }^2\theta }\\ \csc (2\theta )& =\frac{\sec \theta \csc \theta }{2}\end{array}$

Fòrmules de l'àngul triple

Fòrmules per a ànguls triples.

$\begin{array}{cc}\mathrm{sen}(3\theta )& =3\mathrm{sen}\theta -4{\mathrm{sen}}^3\theta =4\mathrm{sen}\theta \mathrm{sen}(\frac{\pi }{3}-\theta )\mathrm{sen}(\frac{\pi }{3}+\theta )\\ \cos (3\theta )& =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos (\frac{\pi }{3}-\theta )\cos (\frac{\pi }{3}+\theta )\\ \mathrm{tg}(3\theta )& =\frac{3\mathrm{tg}\theta -{\mathrm{tg}}^3\theta }{1-3{\mathrm{tg}}^2\theta }\\ \cot (3\theta )& =\frac{3\cot \theta -{\cot }^3\theta }{1-3{\cot }^2\theta }\\ \sec (3\theta )& =\frac{{\sec }^3\theta }{4-3{\sec }^2\theta }\\ \csc (3\theta )& =\frac{{\csc }^3\theta }{3{\csc }^2\theta -4}\end{array}$

Fòrmules de l'àngul mitat

$\begin{array}{cc}\mathrm{sen}\frac{\theta }{2}& =\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}\\ \cos \frac{\theta }{2}& =\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}\\ \mathrm{tg}\frac{\theta }{2}& =\csc \theta -\cot \theta =\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}=\frac{\mathrm{sen}\theta }{1+\cos \theta }\\ & =\frac{1-\cos \theta }{\mathrm{sen}\theta }=\frac{-1\pm \sqrt{1+{\mathrm{tg}}^2\theta }}{\mathrm{tg}\theta }=\frac{\mathrm{tg}\theta }{1+\sec \theta }\\ \cot \frac{\theta }{2}& =\csc \theta +\cot \theta =\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}=\frac{\mathrm{sen}\theta }{1-\cos \theta }=\frac{1+\cos \theta }{\mathrm{sen}\theta }\end{array}$

Ademés

$\begin{array}{cc}\mathrm{tg}\frac{\beta \pm \theta }{2}& =\frac{\mathrm{sen}\beta \pm \mathrm{sen}\theta }{\cos \beta +\cos \theta }\\ \mathrm{tg}(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{4})& =\sec \theta +\mathrm{tg}\theta \\ \sqrt{\frac{1-\mathrm{sen}\theta }{1+\mathrm{sen}\theta }}& =\frac{|1-\mathrm{tg}\frac{\theta }{2}|}{|1+\mathrm{tg}\frac{\theta }{2}|}\end{array}$

Taula

Estes identitats poden ser demostrades utilisant les identitats de la suma i diferència o les fòrmules per a ànguls múltiples.

Fòrmules de l'àngul doble
$\begin{array}{cc}\mathrm{sen}2\theta & =2\mathrm{sen}\theta \cos \theta \\ & =\frac{2\mathrm{tg}\theta }{1+{\mathrm{tg}}^2\theta }\end{array}$	$\begin{array}{cc}\cos 2\theta & ={\cos }^2\theta -{\mathrm{sen}}^2\theta \\ & =2{\cos }^2\theta -1\\ & =1-2{\mathrm{sen}}^2\theta \\ & =\frac{1-{\mathrm{tg}}^2\theta }{1+{\mathrm{tg}}^2\theta }\end{array}$	$\mathrm{tg}2\theta =\frac{2\mathrm{tg}\theta }{1-{\mathrm{tg}}^2\theta }$	$\cot 2\theta =\frac{\cot \theta -\mathrm{tg}\theta }{2}$
Fòrmules de l'àngul triple
$\mathrm{sen}3\theta =3\mathrm{sen}\theta -4{\mathrm{sen}}^3\theta$	$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$	$\mathrm{tg}3\theta =\frac{3\mathrm{tg}\theta -{\mathrm{tg}}^3\theta }{1-3{\mathrm{tg}}^2\theta }$	$\cot 3\theta =\frac{3\cot \theta -{\cot }^3\theta }{1-3{\cot }^2\theta }$
Fòrmules de l'àngul mitat
$\mathrm{sen}\frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}$	$\cos \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}$	$\begin{array}{cc}\mathrm{tg}\frac{\theta }{2}& =\csc \theta -\cot \theta \\ & =\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}\\ & =\frac{\mathrm{sen}\theta }{1+\cos \theta }\\ & =\frac{1-\cos \theta }{\mathrm{sen}\theta }\end{array}$	$\begin{array}{cc}\cot \frac{\theta }{2}& =\csc \theta +\cot \theta \\ & =\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}\\ & =\frac{\mathrm{sen}\theta }{1-\cos \theta }\\ & =\frac{1+\cos \theta }{\mathrm{sen}\theta }\end{array}$

Producte infinit de Leonhard Euler

$\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\theta }{4}\right)\cdot \cos \left(\frac{\theta }{8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos \left(\frac{\theta }{2^n}\right)=\frac{\mathrm{sen}(\theta )}{\theta }$

Fòrmules de reducció de potències

S'obtenen en resoldre la segona i la tercera versions de les fòrmules del coseno de l'àngul doble.

Sen	${\mathrm{sen}}^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$	${\mathrm{sen}}^3\theta =\frac{3\mathrm{sen}\theta -\mathrm{sen}3\theta }{4}$	${\mathrm{sen}}^4\theta =\frac{3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}$	${\mathrm{sen}}^5\theta =\frac{10\mathrm{sen}\theta -5\mathrm{sen}3\theta +\mathrm{sen}5\theta }{16}$
Coseno	${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$	${\cos }^3\theta =\frac{3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}$	${\cos }^4\theta =\frac{3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}$	${\cos }^5\theta =\frac{10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}$
Atres	$\begin{array}{c}{\mathrm{sen}}^2\theta {\cos }^2\theta =\frac{1-\cos 4\theta }{8}\\ =\frac{{\mathrm{sen}}^{2}2\theta }{4}\end{array}$	${\mathrm{sen}}^3\theta {\cos }^3\theta =\frac{{\mathrm{sen}}^{3}2\theta }{8}$	$\begin{array}{c}{\mathrm{sen}}^4\theta {\cos }^4\theta =\frac{3-4\cos 4\theta +\cos 8\theta }{128}\\ =\frac{{\mathrm{sen}}^{4}2\theta }{16}\end{array}$	${\mathrm{sen}}^5\theta {\cos }^5\theta =\frac{{\mathrm{sen}}^{5}2\theta }{32}$

I en térmens generals de potències de $\mathrm{sen}\theta$ o $\cos \theta$, les següents identitats són certes i poden ser obtingudes utilisant la fòrmula de De Moivre, la fòrmula de Euler i el teorema del binomi.

Per a $n$ impar

$\begin{array}{cc}{\cos }^n\theta & =\frac{2}{2^n}\sum _{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cos ((n-2k)\theta )\\ {\mathrm{sen}}^n\theta & =\frac{2}{2^n}\sum _{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(-1{)}^{(\frac{n-1}{2}-k)}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\mathrm{sen}((n-2k)\theta )\end{array}$

Per a $n$ parell

$\begin{array}{cc}{\cos }^n\theta & =\frac{1}{2^n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}})+\frac{2}{2^n}\sum _{k=0}^{\frac{n}{2}-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cos ((n-2k)\theta )\\ {\mathrm{sen}}^n\theta & =\frac{1}{2^n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}})+\frac{2}{2^n}\sum _{k=0}^{\frac{n}{2}-1}(-1{)}^{(\frac{n}{2}-k)}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cos ((n-2k)\theta )\end{array}$

Pas de producte a suma

Pot provar-se usant la teorema de la suma per a desenrollar els segons membres.

Pas de sens i cosenos a tangentes

A voltes és necessari transformar funcions de sen i coseno per a poder-les sumar lliurement, en estos casos és possible expressar sens i cosenos en tangentes.

$|\mathrm{sen}(x)|=\frac{|\mathrm{tg}(x)|}{\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^2(x)}}$

$\mathrm{sen}\left(x\right)=2\mathrm{sen}\left(\frac{x}{2}\right)\cos \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{2\mathrm{tg}\left(\frac{1}{2}x\right)}{1+{\mathrm{tg}}^2\left(\frac{1}{2}x\right)}$

$\cos \left(x\right)=2{\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)-1=\frac{1-{\mathrm{tg}}^2\left(\frac{1}{2}x\right)}{1+{\mathrm{tg}}^2\left(\frac{1}{2}x\right)}$

$|\cos \left(x\right)|=\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^2\left(x\right)}}$

Funcions trigonométricas inverses

$\mathrm{arctg}(x)+\mathrm{arctg}(1/x)=\{\begin{array}{cc}\pi /2,& \text{si }x>0\\ -\pi /2,& \text{si }x<0\end{array}$

$\mathrm{arctg}(x)+\mathrm{arctg}(y)=\mathrm{arctg}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$

Composició de funcions trigonométricas

Els resultats de fer la composició entre funcions trigonométricas en funcions trigonométricas inverses són els següents:

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{sen}(\mathrm{arcsen}x)& =x& \cos (\mathrm{arcsen}x)& =\sqrt{1-x^2}& \mathrm{tg}(\mathrm{arcsen}x)& =\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\\ \mathrm{sen}(\arccos x)& =\sqrt{1-x^2}& \cos (\arccos x)& =x& \mathrm{tg}(\arccos x)& =\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\\ \mathrm{sen}(\mathrm{arctg}x)& =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}& \cos (\mathrm{arctg}x)& =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}& \mathrm{tg}(\mathrm{arctg}x)& =x\\ \mathrm{sen}(\mathrm{arccsc}x)& =\frac{1}{x}& \cos (\mathrm{arccsc}x)& =\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}& \mathrm{tg}(\mathrm{arccsc}x)& =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\ \mathrm{sen}(\mathrm{arcsec}x)& =\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}& \cos (\mathrm{arcsec}x)& =\frac{1}{x}& \mathrm{tg}(\mathrm{arcsec}x)& =\sqrt{x^2-1}\\ \mathrm{sen}(\mathrm{arccot}x)& =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}& \cos (\mathrm{arccot}x)& =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}& \mathrm{tg}(\mathrm{arccot}x)& =\frac{1}{x}\end{array}$

Fòrmules de productes infinits

Les següents fòrmules de productes infinits per a funcions trigonométricas poden ser útils:

$\begin{array}{cc}\mathrm{sen}x& =x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2{n}^2})\\ \cos x& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2{(n-\frac{1}{2})}^2})\\ \mathrm{senh}x& =x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^2}{{\pi }^2{n}^2})\\ \cosh x& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^2}{{\pi }^2{(n-\frac{1}{2})}^2})\end{array}$

Fòrmula de Euler

$e^{+\mathrm{i}x}=\cos \left(x\right)+\mathrm{i}\mathrm{sen}\left(x\right)$

$e^{-\mathrm{i}x}=\cos \left(x\right)-\mathrm{i}\mathrm{sen}\left(x\right)$

Teorema del coseno

Artícul principal → Teorema del coseno.

Donada un triàngul ABC, sent α, β, γ, els ànguls, i a, b, c, els costats respectivament oposts a estos ànguls llavors: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

Teorema del sen

Artícul principal → Teorema del sen.

En tot triàngul es dona la següent relació entre la llongitut dels seus costats a, b i c i el sen dels seus respectius ànguls oposts A, B i C

$\frac{a}{\mathrm{sen}(A)}=\frac{b}{\mathrm{sen}(B)}=\frac{c}{\mathrm{sen}(C)}$

Aplicació

La teorema del sen és usat en freqüència per a resoldre problemes en els que es coneix un costat del triàngul i dos ànguls i es desija trobar les mides dels atres costats per a posteriorment identificar els valors de les funcions trigonométricas.

Definicions exponencialés

La major part de funcions trigonométricas admeten una formulació en térmens d'número complejo, alguns eixemples:

Funció	Funció inversa
$\mathrm{sen}\theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$	$\mathrm{arcsen}x=-i\ln (ix+\sqrt{1-x^2})$
$\cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}$	$\arccos x=-i\ln (x+\sqrt{x^2-1})$
$\mathrm{tg}\theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}$	$\mathrm{arctg}x=\frac{i}{2}\ln \left(\frac{i+x}{i-x}\right)$
$\csc \theta =\frac{2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}$	$\mathrm{arccsc}x=-i\ln (\frac{i}{x}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})$
$\sec \theta =\frac{2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}$	$\mathrm{arcsec}x=-i\ln (\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-1})$
$\cot \theta =\frac{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}$	$\mathrm{arccot}x=\frac{i}{2}\ln \left(\frac{x-i}{x+i}\right)$
$\mathrm{cis}\theta =e^{i\theta }$	$\mathrm{arccis}x=\frac{\ln x}{i}$

Vore també

• Trigonometria
• Funció trigonométrica
• Hexàgon trigonométrico. Recurs mnemònic per a ajudar a recordar relacions i identitats trigonométricas.
• Sen, coseno, tangente

Referències

Bibliografia

• Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fòrmules i taules de matemàtica aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

Enllaços externs

• Algunes identitats extres més varis eixercicis resolts.
• Prova visual del sen de la suma. Prova visual de la teorema del sen.
• Trigonometria Fàcil: L'Hexàgon Trigonométrico.
• Taula d'Identitats Trigonométricas per a imprimir.